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ⓘ 巴尼斯G函数




                                     

ⓘ 巴尼斯G函数

巴尼斯G函数 是超级阶乘函数在复数上的扩展。它与Γ函数、K函数以及格莱舍常数(Glaisher constant)有关。以数学家欧尼斯特 巴尼斯(Ernest William Barnes)的名字命名。

巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为:

G z + 1 = 2 π z / 2 e −.}

其中,γ表示欧拉-马歇罗尼常数。

                                     

1. 差分方程、函数方程与特殊值

巴尼斯G函数满足差分方程

G z + 1 = Γ z G z. {\displaystyle Gz+1=\Gamma zGz.}

特殊地,G1=1. 从此方程可推出G取整数自变量时有:

G n = { 0 if n = 0, − 1, − 2, … ∏ i = 0 n − 2 i! if n = 1, 2, …. {\displaystyle Gn={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0 1 2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\mbox{if }}n=1.2,\dots \end{cases}}.}

因此,

G n = Γ n) n − 1 K n. {\displaystyle Gn={\frac {\Gamma n)^{n-1}}{Kn}}.}

其中, Γ n {\displaystyle \Gamma n} 表示Γ函数, K n {\displaystyle Kn} 表示K函数。

另外,在满足条件 d 3 d x 3 G x ≥ 0 {\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}Gx\geq 0} 时,差分方程唯一确定一个G函数。.

由G函数的差分方程和Γ函数的函数方程可以得到(由Hermann Kinkelin提出):

G 1 − z = G 1 + z 1 2 π z exp ⁡ ∫ 0 z π x cot ⁡ π x d x. {\displaystyle G1-z=G1+z{\frac {1}{2\pi^{z}}}\exp \int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.}
                                     

2. 乘法公式

与Γ函数一样,G函数也有其乘法公式: G n z = K n 2 z 2 / 2 − n z 2 π − n 2 − n 2 z ∏ i = 0 n − 1 ∏ j = 0 n − 1 G z + i + j n. {\displaystyle Gnz=Knn^{n^{2}z^{2}/2-nz}2\pi^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\leftz+{\frac {i+j}{n}}\right.}

G n z = K n 2 z 2 / 2 − n z 2 π − n 2 − n 2 z ∏ i = 0 n − 1 ∏ j = 0 n − 1 G z + i + j n. {\displaystyle Gnz=Knn^{n^{2}z^{2}/2-nz}2\pi^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\leftz+{\frac {i+j}{n}}\right.}

其中K是一个常数,定义为:

K n = e − n 2 − 1 ζ ′ − 1 ⋅ n 5 12 ⋅ 2 π n − 1 / 2 = A e − 1 12 n 2 − 1 ⋅ n 5 12 ⋅ 2 π n − 1 / 2. {\displaystyle Kn=e^{-n^{2}-1\zeta ^{\prime }-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot 2\pi^{n-1/2}\,=\,Ae^{-{\frac {1}{12}}}^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot 2\pi^{n-1/2}.}

其中 ζ ′ {\displaystyle \zeta ^{\prime }} 表示黎曼ζ函数的导函数, A {\displaystyle A} 则表示为格莱舍常数。

log G z + 1 {\displaystyle \log \,Gz+1} 可渐近展开为(由巴尼斯提出):

log ⁡ G z + 1 = 1 12 − log ⁡ A + z 2 log ⁡ 2 π + z 2 − 1 12 log ⁡ z − 3 z 2 4 + ∑ k = 1 N B 2 k + 2 4 k + 1 z 2 k + O 1 z 2 N + 2. {\displaystyle \log Gz+1={\frac {1}{12}}-\log A+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +\left{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}\right\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\leftk+1\rightz^{2k}}}+O\left{\frac {1}{z^{2N+2}}}\right.}

其中 B k {\displaystyle B_{k}} 为伯努利数, A {\displaystyle A} 为格莱舍常数。(需要注意的是,在巴尼斯的时代,伯努利数 B 2 k {\displaystyle B_{2k}} 习惯写成 − 1 k + 1 B k {\displaystyle -1^{k+1}B_{k}} 。)