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ⓘ 最简分数




                                     

ⓘ 最简分数

最簡分數 或 既约分数 指的是分子與分母互質的分數。 若一分數可表為 p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} ,且 p, q ∈ Z {\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} } (整數), = 1 {\displaystyle =1} ,則稱 p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} 為 最簡分數 。 假若p和q還有別的公因數,則其非最簡分數。若 = d {\displaystyle =d} ,且設 p = k 1 d, q = k 2 d ; k 1, k 2 ∈ Z {\displaystyle p=k_{1}d,q=k_{2}d;k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} } 則 p q = k 1 k 2 {\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}} 。其中 k 1 k 2 {\displaystyle {\frac {k_{1}}{k_{2}}}} 為 p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} 的最簡分數。 最簡分數 也可參閱有理化分數的公式,盡量將分子和分母互為質數。每一個正有理數可以被表示為不可簡化的分數。如果分數的分子和分母劃分為它們的最大公因數,而這一項方法可以完全降低至最低的簡化條件。為了找出分子和分母的最大公因數,當然可以使用輾轉相除法或整数分解,就是要解決分數的分子和分母過大的問題。

最簡分數例如 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 、 4 19 {\displaystyle {\frac {4}{19}}} 或 198 17 {\displaystyle {\frac {198}{17}}} 。而 6 4 {\displaystyle {\frac {6}{4}}} 不是,因為 6, 4 = 2 {\displaystyle 6.4=2} ,因而 6 4 = 3 2 {\displaystyle {\frac {6}{4}}={\frac {3}{2}}}

                                     

1. 唯一性

每一個有理數沒有獨特性的表示正分母的不可簡化分數(雖然兩者 2 3 = − 2 − 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}={\tfrac {-2}{-3}}} 都是不可簡化的分數)。唯一性是獨一無二主要因子分解的結果,自從出現 a b = c d {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}} 意味著 a d = b c {\displaystyle ad=bc} ,因此等號的雙邊必須共享相同的因式分解,設主要多重的因數 a {\displaystyle a} ,而 c {\displaystyle c} 也要出現 a {\displaystyle a} 的子集,方可證明 a d = b c {\displaystyle ad=bc} 。

                                     

2. 概括

不可簡化的分數的概念可推論任何唯一分解整環之分式環:透過劃分分子和分母的最大公因數,這一項元素的領域中可被寫出它們的分數。特別適用越過其他領域的代數式。然而不可簡化的分數在給定元素上,既使是同樣的可逆元素,也是唯一較多人使用分子和分母的乘法。在有理數的情況下意旨任何數字具有兩個最簡分數,若跟分子和分母的正負號有關;在這種模糊的情況下可透過要求分母要被移除負號。在合理的功能的情況下,分母可以類似地被要求是一個首項。

                                     

3. 參見

  • 偶然對消:指算術上不正確的處理,但其結果恰好是正確的。
  • 丟番圖逼近:透過有理數中逼出實數的近似值。