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ⓘ 循环小数




循环小数
                                     

ⓘ 循环小数

循环小数 ,是從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字,依次不斷地重複出現的小數。可分为有限循环小数和无限循环小数。

                                     

1. 定義

循環小數都為有理數的小數表示形式,例:

5 4 = 1.25 = 1.25000000 ⋯ = 1.25 0 ¯ {\displaystyle {5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}}

1 3 = 0.3333333 ⋯ = 0. 3 ¯ {\displaystyle {1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}}

1 7 = 0. 142857 ⋯ = 0. 142857 ¯ {\displaystyle {1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}}

                                     

2. 性质

  • 根據分數 b a {\displaystyle {\frac {b}{a}}} 的情況分開討論
  • 一个分母为N的循环小数的循环节位数最多不超过N-1位。
1.除数a为 2 m × 5 n × K {\displaystyle 2^{m}\times 5^{n}\times K} 的倍數时, b ÷ a {\displaystyle b\div a} 有maxm,n个不循环位数,其中 b {\displaystyle b} 為任意自然數, K {\displaystyle K} 為非 2 m, 5 n {\displaystyle 2^{m},5^{n}} 之其他數。 2.如果 1 ⩽ b < a {\displaystyle 1\leqslant b > a {\displaystyle b> a} 也成立,例如 2 7 {\displaystyle {\frac {2}{7}}} 與 9 7 {\displaystyle {\frac {9}{7}}} ,兩者循環小數一致,因為 8 7 = 1 + 1 7 {\displaystyle {\frac {8}{7}}=1+{\frac {1}{7}}} ,只差別在商,餘數皆為1同餘故成立。 3.承接以上兩點,當除数a可以質因數標準分解式表示成 2 m × 5 n × P 1 S 1 × P 2 S 2 × {\displaystyle 2^{m}\times 5^{n}\times P1^{S1}\times P2^{S2}\times } ⋯ × P n S n {\displaystyle \times Pn^{Sn})} 時,會有maxm,n個不循環位數,和 E {\displaystyle E} 個循環節位數。 其中, P 1 S 1 {\displaystyle P1^{S1}}, P 2 S 2 {\displaystyle P2^{S2}},⋯, P n S n {\displaystyle Pn^{Sn}} 分別各有 e 1,e 2.,e n 個循環節位數,存在一個最小公倍數 E = =48)
                                     

3. 化為分數的方法

  • 先看有幾位「非循環節位數( n {\displaystyle {\color {blue}n\,\!}} )」和「循環節位數( m {\displaystyle {\color {red}m\,\!}} )」,算出後,將 999 ⋯ 9 ⏟ m 000 ⋯ 0 ⏟ n {\displaystyle 。
                                     

4. 计算方法

利用短除法可以将分数有理数, Q {\displaystyle \mathbb {Q} }转化为循环小数。

例如 3 7 {\displaystyle {\frac {3}{7}}} 可以用短除法计算如下:

7| 3.00000000000000000 0.42857142857142857.
                                     

5. 表示方法

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

  • 使用「 上划线 」表示,如:

1 70 = 0.0 142857 ¯ {\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\overline {142857}}}

  • 使用「 上点 」表示,如:

1 70 = 0.0 1 ˙ 4285 7 ˙ {\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\dot {1}}4285{\dot {7}}}

  • 使用「 大括号 」表示,如:

1 70 = 0.0 { 142857 } {\displaystyle {1 \over 70}=0.0\{142857\}}

                                     

6.1. 缺点 不唯一性

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如 1.000000 ⋯ = 1. 0 ¯ = 0. 9 ¯ = 0.999999 ⋯ {\displaystyle 1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots }

                                     

6.2. 缺点 与進位制系統密切相关

由于循环小数与進位制系統密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如 1 17 = 0. 0588235294117647 ⋯ = 0. 0588235294117647 ¯ {\displaystyle {1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}}

但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。如 1 17 = 11 16 = 0. 0 F 0 F ⋯ 16 = 0. 0 F ¯ 16 {\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 11}_{16}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{16}=0.{\overline {0F}}_{16}}