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ⓘ 冪數




冪數
                                     

ⓘ 冪數

冪數 (英語: powerful number )也稱為 幂次数 ,是指一正整数 n {\displaystyle n} ,其所有質因數的平方亦是 n {\displaystyle n} 的因數,換言之,若存在一質因數 p {\displaystyle p} ,則 p 2 {\displaystyle p^{2}} 也是 n {\displaystyle n} 的因數。

冪數可表示為一個平方數及立方數的乘積,若 a {\displaystyle a} 及 b {\displaystyle b} 為正整數(包括1在內), a 2 b 3 {\displaystyle a^{2}b^{3}} 即為冪數。而平方數及立方數本身(及整數的更高次方)也是冪數。

保羅 艾狄胥及喬治 塞凱賴什都曾針對這類數字進行研究,而數學家Solomon W. Golomb將這類的數命名為「powerful number」,「powerful」應該是指數字由許多冪所組成,但此詞恰巧也有「強大的」、「有力的」的意思。

以下是1000以內冪數的列表:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 (OEIS中的数列A001694)。
                                     

1. 數學性質

冪數的質因數分解中,各質因數指數均大於1。

冪數的倒數的和為

∏ p 1 + 1 p − 1) = ζ 2 ζ 3 ζ 6 = 315 2 π 4 ζ 3 {\displaystyle \prod _{p}1+{\frac {1}{pp-1}})={\frac {\zeta 2\zeta 3}{\zeta 6}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta 3}

其中

p 為所有的質數 ζ s {\displaystyle \zeta s} 為黎曼ζ函數 ζ 3 {\displaystyle \zeta 3} 為阿培里常數。

若用 k x來表示當1≤ n ≤ x 時,冪數 n 的個數,則 k 滿足以下的不等式

c x 1 / 2 − 3 x 1 / 3 ≤ k x ≤ c x 1 / 2, c = ζ 3 / 2 / ζ 3 = 2.173 ⋯ {\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq kx\leq cx^{1/2},c=\zeta 3/2/\zeta 3=2.173\cdots }

佩爾方程 x 2 -8 y 2 =1有無限多個正整數解,因此存在無限多組連續的冪數(若 x 、 y 為正整數解,則 x 2 及8 y 2 即為二個連續的冪數),其中最小的是8和9。而8和9恰好也是唯一一組連續的次方數(卡塔蘭猜想,後來已被數學家普雷達 米哈伊列斯庫證明)。

                                     

1.1. 數學性質 冪數的和與差

每一個奇數都可以表示為二個連續數字的平方的差:k + 1 2 = k 2 + 2k +1 2 ,因此 k + 1 2 - k 2 = 2 k + 1。而每一個4的倍數都可以表示為二個彼此差2的正整數,其平方的差:k + 2 - k 2 = 4 k + 4。以上數字均可表示為二平方數的差,因此可就是二個冪數的差。

但無法被4整除的偶數(即 奇偶數 )無法表示為二個平方數的差,但不確定是否可表示為二個冪數的差,然而Golomb發現以下的等式

2=3 -5 2 10=13 -3 7 18=19 2 -7 =3 2 3 -5 2

以上的等式未包括6,Golomb猜想有無窮多個奇偶數無法表示為二個冪數的差,不過後來Narkiewicz發現6也可以表示為二個冪數的差:

6=5 4 7 3 -463 2

而且可以找到無限多組的冪數,二個冪數之間的差為6。而McDaniel證明每個整數都有無限多組表示為二個冪數的差的方法。

保羅 艾狄胥猜想每一個足夠大的整數均可表示為最多三個冪數的和,後來由Roger Heath-Brown證實了保羅 艾狄胥的猜想。

                                     

2. 一般化

冪數的質因數分解中,所有的指數均不小於2。以此概念再延伸,若一整數的質因數分解中,所有的指數均不小於 k ,可稱為 k -冪數。

2 k +1}-1 k, 2 k 2 k +-1 k, 2 k +-1 k +1

是由k-冪數所組成的等差數列,若 a 1, a 2., a s 是由 k -冪數所形成的等差数列,公差為d,則

a 1 a s + d k, a 2 a s + d k., a s a s + d k, a s +d k +1

則是由 s +1個項 k -冪數所組成的等差数列。

以下是一個有關 k -冪數的恆等式:

a k a n +.+1 k + a k +1 a n +.+1 k +.+ a k + n a n +.+1 k = a k a n +.+1 k +1

因此可以找到無窮多組的 k -冪數,其個數為 n +1個,而這些 k -冪數的和也是 k -冪數。Nitaj證明了存在無窮多組互質的3-冪數 x 、 y 、 z ,滿足 x + y = z 的形式。Cohn找到一個可產生無窮多組互質,且非立方數的3-冪數 x 、 y 、 z ,可滿足 x + y = z 的方法:以下的數組

X =9712247684771506604963490444281, Y =32295800804958334401937923416351, Z =27474621855216870941749052236511

是方程式32 X 3 + 49 Y 3 = 81 Z 3 的解(因此32 X 3 、49 Y 3 及81 Z 3 即為上述的3-冪數數組)。令 X ′= X 49 Y 3 + 81 Z 3, Y ′ = − Y 32 X 3 + 81 Z 3, Z ′ = Z 32 X 3 − 49 Y 3,再除以其最大公因數即為一組新的解。

                                     

3. 延伸閱讀

  • P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Szeged 7 1934, 95--102.
  • D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7, Birkhäuser, Boston, 1988.
  • J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Math. Comp. 67 1998, 439--440.
  • Richard Guy, Section B16 in Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7.