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ⓘ 格林-陶定理




                                     

ⓘ 格林-陶定理

格林-陶定理 (英語: Green-Tao theorem )是 本 格林 和陶哲轩于2004年证明的一个关于质数组成的等差数列存在性定理。质数序列包含任意长的等差数列,是格林-陶定理的著名推论。

                                     

1. 定理内容

对于任意的素数集合的子集 A {\displaystyle A} ,若 A {\displaystyle A} 相对于素数集合的上密度(英語: upper density )为正,即:

lim sup N → ∞ | A ∩ |}{\pi N}}> 0} 其中, π N {\displaystyle \pi N} 代表不大于 N {\displaystyle N} 的素数的个数。

那么:

对于任意的正整数 k {\displaystyle k} , A {\displaystyle A} 中的元素可以组成任意多个长度为 k {\displaystyle k} 的等差数列。
                                     

2. 推论

格林-陶定理有以下两个直接的推论:

  • 质数序列中包含有任意长的等差子序列
  • 对于任意正整数 k {\displaystyle k} ,质数序列中存在任意多长度为 k {\displaystyle k} 的等差子序列
                                     

3. 目前已知的最長質數等差數列

质数序列中长度为 k {\displaystyle k} 的等差子序列,對於0≤n≤k−1,目前最好的結果是對於k=26,此等差數列為:

43.142.746.595.714.191 + 23.681.770 223.092.870 n
                                     

4. 相关定理与猜想

  • 更強的猜想是對於任何正整數r,質數序列中都存在任意長度的r階階差數列 that is not r−1階階差數列(0階階差數列是常數數列,1階階差數列是等差數列,依此類推),格林-陶定理就是r=1的特例。對於2階階差數列,质数序列中长度为 k {\displaystyle k} 的二階階差子序列,對於0≤n≤k−1,目前最好的結果是對於k=45,此數列為36n^2-810n+2753(不管各項的大小順序,只要序列中沒有重複的質數就可以)。
  • 格林-陶定理是 塞迈雷迪定理 在素数集上的推广。
  • 格林-陶定理是埃尔德什等差数列猜想的一个特例。