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ⓘ 真值表




真值表
                                     

ⓘ 真值表

真值表 是使用於邏輯中(特別是在連結邏輯代數、布林函數和命題邏輯上)的一類數學用表,用來計算邏輯表示式在每種論證(即每種邏輯變數取值的組合)上的值。尤其是, 真值表 可以用來判斷一個命題表示式是否對所有允許的輸入值皆為真,亦即是否為邏輯有效的。

「用真值表製表的推理模式是由弗雷格、查尔斯 皮尔士和恩斯特 施羅德於1880年代所发明的。這種表格於1920年代之後廣泛地發現在許多文獻上(扬 武卡谢维奇、埃米爾 波斯特、维特根斯坦)”(蒯因, 39)。路易斯 卡罗早在1894年就公式化了真值表来解决特定问题,但是包含他这项工作的手稿直到1977年才被发现 。维特根斯坦的逻辑哲学论利用真值表把真值函数置于序列中。这个著作的广泛影响导致了真值表的传播。

真值表被用來計算以「決策程序」建構的命題表示式的值。命題表示式可以是一個原子公式(命題常數、命題變數或命題函數,如 Px 或 P x),或以邏輯算子(如邏輯與( ∧ {\displaystyle \land } )、邏輯或( ∨ {\displaystyle \lor } )、邏輯非( ¬ {\displaystyle \lnot } ))由原子公式建構出來的公式。舉例來說, F x ∧ G x {\displaystyle Fx\land Gx} 即是個命題表示式。

真值表中的列标题展示了 (i)命题函数与/或变量,和 (ii)建造自这些命题函数或变量和运算符的真值泛函表达式。行展示对 (i)和 (ii)的 T 或 F 指派的每个可能的求值。换句话说,每行都是对 (i)和 (ii)的不同解释。

经典(就是说二值)逻辑的真值表限定于只有两个真值是可能的布尔逻辑系统,它们是" 真”或" 假”,通常在表中简单的表示为 T 和 F 。

                                     

1. 否定

在布尔逻辑系统中,所有运算符都能以这种方式明确的定义。例如NOT(¬)关系定义如下:

                                     

2. 逻辑合取

例如,采用两个命题变量, A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 和逻辑运算符"AND"(∧),表示合取"A与B"或 A {\displaystyle A} ∧ B {\displaystyle B} 。在普通英语中,如果A和B都是真的,那么合取" A {\displaystyle A} ∧ B {\displaystyle B} "是真的;在所有的对 A {\displaystyle A} ∧ B {\displaystyle B} 的真值的可能指派,合取都是假的。这种联系定义如下:

                                     

3. 逻辑与非

可以构造复合的表达式,使用圆括号来指示优先级。

合取的否定¬( A {\displaystyle A} ∧ B {\displaystyle B} )≡ A {\displaystyle A} ∧ B {\displaystyle B} ,和否定的析取¬ A {\displaystyle A} ∨ ¬ B {\displaystyle B} 描述如下:

                                     

4. 逻辑或非

真值表可以用来证明逻辑等价。

析取的否定¬( A {\displaystyle A} ∨ B {\displaystyle B} )≡ A {\displaystyle A} ∨ B {\displaystyle B} ,和否定的合取¬ A {\displaystyle A} ∧ ¬ B {\displaystyle B} 描述如下:

比较上面两个真值表,因为对 A {\displaystyle A} ∧ B {\displaystyle B} 和¬ A {\displaystyle A} ∨ ¬ B {\displaystyle B} 二者,与 A {\displaystyle A} ∨ B {\displaystyle B} 和¬ A {\displaystyle A} ∧ ¬ B {\displaystyle B} 二者,枚举 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的所有可能真值生成相同真值,它们分别是逻辑等价的,并可相互代换。这种等价是德 摩根定律中的。

                                     

5. 逻辑异或

A ∧ B 还写为 A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B} 或 A ≠ B {\displaystyle A\neq B}描述如下:

                                     

6. 最常用逻辑运算符的真值表

下面的真值表给出2个二值变量(P,Q是布尔变量)的16个可能的真值函数中最常用的7个的定义:

注解:

T = 真,F = 假 ∧ = AND(逻辑合取) ∨ = OR(逻辑析取) ∨ = XOR(异或) ≡ = XNOR(异或非) → =" 如果-那么”条件 ← =" 當”条件 ↔ = 双条件或" 当且仅当”

Johnston图,类似于文氏图和欧拉图,提供了可视化真值表的方式。LogicTutorial.com有展示真值表的交互的Johnston图。

                                     

7. 二元运算符的紧缩真值表

对于二元运算符,还使用一种紧缩形式的真值表,这裡的行标题和列标题指定操作元(operand)而表单元指定结果。例如布尔逻辑是这种真值表表示法:

这种表示法在运算符是交换性的时候特别有用,尽管你可以补充的指定行是第一个操作元而列是第二个操作元。这种紧缩的表示法在讨论逻辑的多值扩展时特别有用,因为组合數的爆炸性增加,它能有效的缩减所需要的行数。它还提供了在表中值的分布的快速可辩识的特征性"形状",可以帮助读者更加快速的把握规律。

                                     

8. 参见

  • 命题逻辑
  • 真值
  • 真值函数
  • 连结词
  • 布尔代数主题列表
  • 零阶逻辑