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ⓘ 实质条件




实质条件
                                     

ⓘ 实质条件

在命题演算,或在数学的逻辑演算中, 实质条件 、 實質蘊涵 或 蕴涵算子 是一种二元的真值泛函的逻辑运算符,它有着如下形式

如果A那么B,

这裡的A和B是陈述变量(可以被语言中任何有意义的可表示的句子所替代)。在这种形式的陈述中,第一项这裡的A,叫做前件;第二项这裡的B,叫做后件。

这个算子使用右箭头" →”(有时用符号" ⇒”或" ⊃”)来符号化,符合" 如果A為真,那么B亦為真”被写为如下:

  • A ⇒ B {\displaystyle A\Rightarrow B}
  • A ⊃ B {\displaystyle A\supset B}
  • A → B {\displaystyle A\to B}

須注意的是, ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 更常用於語意蘊含(等同符號 ⊨ {\displaystyle \vDash } )。這也是大多數初學者易搞混的點。

                                     

1. 真值表

涉及实质蕴涵的真值表定义如下:

由此可见, A → B {\displaystyle A\to B} 等价于 ¬ A ∨ B {\displaystyle \neg A\lor B} 。

                                     

2. 形式性質

實質條件不要混淆於蘊涵關係 ⊨ {\displaystyle \models } 。但在多數邏輯包括經典邏輯中二者之間有密切關聯。例如下列原理成立:

  • 如果 Γ ⊨ ψ {\displaystyle \Gamma \models \psi } 則 ∅ ⊨ ϕ 1 ∧ ⋯ ∧ ϕ n → ψ {\displaystyle \emptyset \models \phi _{1}\land \dots \land \phi _{n}\rightarrow \psi } 對于某些 ϕ 1, …, ϕ n ∈ Γ {\displaystyle \phi _{1},\dots,\phi _{n}\in \Gamma } 。(這是演繹定理的特定形式。)
  • 上述的逆命題
  • → {\displaystyle \rightarrow } 和 ⊨ {\displaystyle \models } 而二者都是單調的;就是說如果 Γ ⊨ ψ {\displaystyle \Gamma \models \psi } 則 Δ ∪ Γ ⊨ ψ {\displaystyle \Delta \cup \Gamma \models \psi } ,并且如果 ϕ → ψ {\displaystyle \phi \rightarrow \psi } 則 ϕ ∧ α → ψ {\displaystyle \phi \land \alpha\rightarrow \psi } 對於任何α, Δ。(用結構規則的術語說,這叫做弱化。)

但是這些原理不在所有邏輯中成立。它們顯著的不成立於非單調邏輯中,也不成立於相干邏輯中。

實質蘊涵的其他性質:

  • 左分配律: A → B → C → A → B → A → C) {\displaystyle A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow C)}
  • 傳遞律:A → B → B → C → A → C) {\displaystyle A\rightarrow B)\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow C)}
  • 冪等律: A → A {\displaystyle A\rightarrow A}
  • 真理保持:在其下所有變量被指派為真值‘真’的釋義生成真值‘真’作為實質蘊涵的結果。
  • 前交換律:A → B → C) ≡ B → A → C) {\displaystyle A\rightarrow B\rightarrow C)\equiv B\rightarrow A\rightarrow C)}

注意 A → B → C {\displaystyle A\rightarrow B\rightarrow C} 邏輯等價於 A ∧ B → C {\displaystyle A\land B\rightarrow C} ;這個性質有時叫做柯里化。由於這些性質,對→符號採用右結合約定是合適的。

                                     

3. 對自然語言的符号表示

在介绍逻辑的课本中经常包括的常见的练习是符号表示。这些练习给学生自然语言的一个句子或一段文本,学生必须把它们转换成符号语言。这是通过识别普通语言的等价的逻辑术语而完成的,这通常包括实质条件、析取、合取、否定和(经常的)双条件。更高级的逻辑书籍和介绍性读物的后续章节经常增加等号、存在量词和全称量词。

用来识别实质条件的、在普通语言中的一些短语包括," 如果/当”、" 仅当”、" 假定”、" 假如”、" 假设”、" 蕴涵”、" 即使”和" 万一”。很多这些短语指示前件,另一些指示后件。正确识别" 蕴涵方向”是重要的。比如," A仅当B”被如下陈述捕获

A → B

而" A当B”被如下陈述正确捕获

B → A

蕴涵算符的中文意思包括" 那么”" 则”" 是因为”" 如果……就……”。

                                     

4. 同其他条件陈述的比较

使用这个算子是逻辑学家规定的,作为结果,它产生了一些有爭議的真值推理陳述句。比如前件明顯为假設的,任何实质条件的整句陈述結果都是真值成立的。所以陈述句如" 假設 2 {\displaystyle 2} 是奇数,則蕴涵了 2 {\displaystyle 2} 是偶数”這樣違反自然語言直覺的推理蕴涵是真的。类似的,后件为真的任何实质条件陳述都是真的。所以陈述" 如果猪接管了农场并谋杀了农民,则巴黎是在法国”是真的。

这些有爭議的真值推理陳述句出现,是因为自然口语的人經常易受诱惑,而把 实质条件 和直陈条件或其他条件陈述如反事实条件,混淆在一起了。通过不把条件陈述读做" 如果”和" 则/那么”可以减轻这种诱惑。最常见的方式是把 A → B 读做" 要么不是情况 A {\displaystyle A} 要么是情况 B {\displaystyle B} (或二者)”,或更简单的" 要么 A {\displaystyle A} 为假 要么 B {\displaystyle B} 为真(或二者)”。(當 A {\displaystyle A} 为假,此式即已被淺薄的(trivial)滿足。这种陈述等价的自然口語方式,即是使用否定和析取或的逻辑符号 ¬ A ∨ B {\displaystyle \neg A\vee B} 而获得的。)