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ⓘ 真值函数




                                     

ⓘ 真值函数

在逻辑中, 真值函数 是从语言的句子生成的函数。它采用来自 {T,F} 的真值。例如句子 A → B 生成真值函数 h,它的真值是 F,当且仅当 A 的值是 T 而 B 的值是 F。n 个变量的命题句子生成 2^{2^n} 个真值函数。比如,如果有像 A → 这样的 2 个变量的命题则有 16 个生成的真值函数。

陈述或命题被称为是 真值泛函 的,如果它的真值由它的部件的真值来决定。

比如," 在2004年4月20日保罗 马丁是加拿大首相”是真的," 在2004年4月20日乔治 沃克 布什是美国总统”也是真的,所以合取:

  • 在2004年4月20日保罗 马丁是加拿大首相 与 乔治 沃克 布什是美国总统”

是真的。在这个句子中," 与” 充当真值函数。

相反的,在" 在2004年4月20日阿尔 戈尔是美国总统”和" 布蘭妮 斯皮爾斯相信在2004年4月20日阿尔 戈尔是美国总统”。知道前者不是真的和后者的真值之间没有关系:布蘭妮 斯皮爾斯相信阿尔 戈尔是总统这个命题的真值,不是由阿尔 戈尔在那天 不是 总统的事实来决定的。 所以,词语" 相信”不是真值函数。

用更加数学化的术语,真值函数是一种布尔函数,并使用布尔变量来持有真值函数的结果是计算机科学的普遍实践。确定句子的真值是逻辑和数学二者的基本活动;作为结果,真值函数在与逻辑和数学基础有关的著作中经常讨论。

简单真值函数如 AND、NOT 等可以用真值表确定。更复杂的真值函数可能需要重要的计算。

                                     

1. 历史

Alonzo Church 1944年. Introduction to Mathematical Logic. ISBN 0-691-02906-7 The history of the usage of truth function is covered, among other terms, in the Introduction chapter.

                                     

2. 参见

  • 罗素和怀特海的数学原理第二版。
  • 布尔函数
  • 真值表
  • 逻辑哲学论, 命题5.101。
  • 真值
  • 布尔值函数
  • 邱奇,数理逻辑介绍1944年。