上一页

ⓘ 存在量化




存在量化
                                     

ⓘ 存在量化

在谓词逻辑中, 存在量化 是对论域内至少一个成员的性质或关系的论断。在符号逻辑中, 存在量词 ∃是用来指示存在量化的符号。

它相对于声称某些谓词对所有事物都为真的全称量化。

                                     

1. 基础

要表达" 某些自然数自乘得25”这个命题,一种方式是:

0 × 0 = 25 {\displaystyle 0\times 0=25} ,或 1 × 1 = 25 {\displaystyle 1\times 1=25} ,或 2 × 2 = 25 {\displaystyle 2\times 2=25} ,或 3 × 3 = 25 {\displaystyle 3\times 3=25} ,以此类推。

因为使用了" 或”一词,这看上去是逻辑析取。然而形式逻辑中的析取概念却不能表达出" 以此类推”一词的含义,因此该命题并不能在形式逻辑中解读。

因此将该命题改述为

存在 自然数 n {\displaystyle n} , n × n = 25 {\displaystyle n\times n=25} 。

也可表达为

对于某些 自然数 n {\displaystyle n} , n × n = 25 {\displaystyle n\times n=25} 。

这便是一个使用存在量化的单一命题。该命题比原命题更精确,因为" 以此类推”一词想表示的是要包括所有的自然数、且除此之外不包括任何其它内容,但语言中并没有明确地陈述这点,这便是" 以此类推”一词不能被形式地解释的根本原因。

这个新命题为真,因为5是自然数,而当把5代入 n {\displaystyle n} 时,可以得到 5 × 5 = 25 {\displaystyle 5\times 5=25} 。尽管 大多数 自然数 n {\displaystyle n} 都不满足 n × n = 25 {\displaystyle n\times n=25} ,但存在至少一个解足以举证存在命题为真。反之," 存在偶数 n {\displaystyle n} , n × n = 25 {\displaystyle n\times n=25} ”为假,因为一个偶数解也不存在。

然而," 存在奇数 n {\displaystyle n} , n × n = 25 {\displaystyle n\times n=25} ”为真,因为5是奇数。这演示了论域的重要性 - - 确定变量n的取值范围。限制存在量化的论域要使用逻辑合取。例如" 存在奇数 n {\displaystyle n} , n × n = 25 {\displaystyle n\times n=25} ”逻辑等价于" 存在自然数 n {\displaystyle n} , n {\displaystyle n} 是奇数且 n × n = 25 {\displaystyle n\times n=25} ”。这里的" 且”构造出了逻辑合取。

在符号逻辑中,使用存在量词" ∃”(反写的无衬线体的字母"E")来表示存在量化。所以如果 P a, b, c {\displaystyle Pa,b,c} 是谓词" a × b = c {\displaystyle a\times b=c} ”,而 N {\displaystyle \mathbb {N} } 则是自然数集,那么有

∃ n ∈ N P n, n, 25 {\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} \,Pn,n,25}

表示的是真命题" 存在自然数 n {\displaystyle n} , n × n = 25 {\displaystyle n\times n=25} ”。

类似的,如果 Q n {\displaystyle Qn} 是谓词" n {\displaystyle n} 是偶数”,那么有

∃ n ∈ N Q n ∧ P n, n, 25) {\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} \,{\big }Qn\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!Pn,n,25{\big)}}

表示的是假命题" 存在自然数 n {\displaystyle n} , n {\displaystyle n} 是偶数且 n × n = 25 {\displaystyle n\times n=25} ”。