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ⓘ 公式 (数理逻辑)




                                     

ⓘ 公式 (数理逻辑)

在数理逻辑中, 公式 是表达命题的形式语法对象,除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。

公式精确定义依赖于涉及到的特定的形式逻辑,但有如下一个非常典型的定义(特定于一阶逻辑):公式是相对于特定语言而定义的;就是说,一组 常量符号 、 函数符号 和 关系符号 ,这里的每个函数和关系符号都带有一个元数(arity)来指示它所接受的参数的数目。

                                     

1.1. 定义 项的递归定义

  • 一个变量

  • 一个常量符号

  • f t 1., t n {\displaystyle ft_{1}.,t_{n}\,} ,这里的 f {\displaystyle f\,} 是一个 n -元函数符号,而 t 1., t n {\displaystyle t_{1}.,t_{n}\,} 是项。
                                     

1.2. 定义 公式的递归定义

  • t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}\,} ,这里的 t 1 {\displaystyle t_{1}\,} 和 t 2 {\displaystyle t_{2}\,} 是项

  • R t 1., t n {\displaystyle Rt_{1}.,t_{n}\,} ,这里的 R {\displaystyle R\,} 是一个 n -元关系符号,而 t 1., t n {\displaystyle t_{1}.,t_{n}\,} 是项

  • ¬ φ {\displaystyle \neg \varphi} ,这里的 φ {\displaystyle \varphi \,} 是公式

  • φ ∧ ψ {\displaystyle \varphi \land \psi\,} ,这里的 φ {\displaystyle \varphi \,} 和 ψ {\displaystyle \psi \,} 是公式

  • ∃ x φ {\displaystyle \exists x\varphi\,} ,这里的 x {\displaystyle x\,} 是一个变量而 φ {\displaystyle \varphi \,} 是一个公式。
                                     

2. 解释

公式并 不一定 具备封闭形式(即 不一定 没有省略号)。
  • 排列数和组合数等都含有省略号。
  • 阶乘" !”、求和式" ∑”和求积式" ∏”等都隐含省略号。
按照通项公式去计算有时比按照定义去计算更加复杂。
  • 斐波那契数列公式:
F n = 1 5 { 1 + 5 2 n − 1 − 5 2 n } = φ n 5 − 1 − φ n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right^{n}-\left{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right^{n}\right\}={\varphi ^{n} \over {\sqrt {5}}}-{1-\varphi^{n} \over {\sqrt {5}}}}

但是相比较按照这个公式计算 f n {\displaystyle f_{n}\,} ,还是按照递归定义: f n = f n − 2 + f n − 1 n ≥ 3 {\displaystyle f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}n\geq 3\,} 进行计算更方便。

根据谓词逻辑的语义推导规则,语义应该具有一致性,就是对于一个命题逻辑语句集f,当且仅当至少存在这样一种解释i,f的一切元素在i之下都是真的,那么,f是语义一致的。在命题逻辑语义学内,一个赋值不能同时把真和假给予某个命题原子式。在命题逻辑语义学中,在同一解释下,一个集合不能既属于某个谓词的外延又不属于该谓词的外延。{现代西方哲学逻辑,复旦大学出版社235页}

                                     

3. 参见

  • 原子公式
  • 句子 数理逻辑
  • 原子句子
  • T-模式
  • WFF
  • NIST數學函數