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ⓘ 合式公式




合式公式
                                     

ⓘ 合式公式

在形式系統與逻辑中, WFF 是 合式公式 (well-formed formula)的缩写。给定一个形式文法,WFF是这个文法生成的任何字符串。

例如,在命题演算中符号序列 α → β → ¬ β → ¬ α) {\displaystyle \alpha \rightarrow \beta\rightarrow \neg \beta \rightarrow \neg \alpha)} 是一个WFF,因为它在文法上正确。符号序列 α → β → β β) α) {\displaystyle \alpha \rightarrow \beta\rightarrow \beta \beta)\alpha)} 不是WFF,因为它不符合命题演算的文法。

在形式逻辑中,证明是有特定性质的WFF序列,而序列中最终的WFF就是要证明的。

                                     

1. 命题逻辑中的合式公式

设S是联结词的集合. 由S生成的合式公式定义如下:

  • 若n ⩾ {\displaystyle \geqslant } 1, F {\displaystyle F} 是S中的n元联结词, A 1, A 2., A n {\displaystyle A_{1},A_{2}.,A_{n}} 是由S生成的公式,则 F A 1 A 2. A n {\displaystyle FA_{1}A_{2}.A_{n}} 是由S生成的合式公式.
  • 原子公式是由S生成的合式公式.
  • 若c是S中的0元联结词,则c是由S生成的合式公式.
                                     

2. 谓词逻辑中的合式公式

合式公式是按以下规则构成的有穷长符号串:

  • 若 A {\displaystyle A} 是合式公式, x {\displaystyle x} 是变元,则 ∀ x A {\displaystyle \forall xA} 是合式公式.
  • 若 A {\displaystyle A} 是合式公式,则 ⌝ A {\displaystyle \urcorner A} 是合式公式.
  • 若 A, B {\displaystyle A,B} 是合式公式,则 A → B {\displaystyle A\rightarrow B} 是合式公式.
  • 每个原子公式是合式公式.