上一页

ⓘ 单位群




单位群
                                     

ⓘ 单位群

在环中,所有可逆元素叫环的单位,所有单位对乘法可构成一个乘法群,叫环的 单位群 。对环(域)来说,单位群所有元素,和环(域)的所有元素有多少相同,有多少不同,可由环的素理想,分式理想,理想类群来度量。

整数环Z的单位只有1,-1,单位群同构于循环群C 2 。模n 的剩余类环Z n 单位群记为U(Z n )。仅有U(Z 3 ),U(Z 4 ),U(Z 6 ),U(Z 8 ),U(Z 12 ),U(Z 24 )非单位元的阶均为2;非单位元的阶均为其他素数p(p > 2)的单位群不存在。

                                     

1. 单位

算术基本定理说明Z环的乘法结构为:每一个非零整数可以表为唯一的若干素数次幂和±1乘。这对O K 的理想的唯一分解对一部分理想正确,不能全正确是因为±1,因为整数1和-1是Z环的可逆元素(即单位,两者组成一个乘法群叫单位群,记为Z × ,是个2阶循环群)。更普遍的是,在O K 的形式下全部素元乘法可逆组成一个乘法群,记为O × ,群素元称为O K 的单位,这个群比2阶循环群Z×阶大。由狄利克雷单位定理可得:单位群是交换群。更确切的有伽罗瓦模形式:

O K ≃ {\displaystyle \simeq } Z ⊕r ⊕(有限循环群)。

有限循环群即为K的单位群O × 。 O K 单元群的阶大小,O K 的格结构,类数公式可以求出。

                                     

2. 例子

由在线GNU项目sagemath.org可容易看出2次域单位的判别式、类数、因子分解等各种情况。

Q7:=QuadraticField-11;Q7; O7:=MaximalOrderQ7;O7; DiscriminantQ7 ; ClassGroupQ7; a:=O7!5;a; aa:=O7!500;aa; Factorizationa; Factorizationaa; Q17:=QuadraticField17;Q17; FundamentalUnitQ17; DiscriminantQ17 ; ClassGroupQ17; Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 + 11 over the Rational Field Maximal Order of Q7 -11 Abelian Group of order 1 Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of O7 5 500 Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 17 over the Rational Field -Q17.1 + 4 17 Abelian Group of order 1 Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of Maximal Order of Q17