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ⓘ 斯奎斯数




斯奎斯数
                                     

ⓘ 斯奎斯数

在数论中, 斯奎斯数 ( Skewes number )是指南非数学家斯坦利 斯奎斯(Stanley Skewes)用以表示满足下式之最小自然数 x 的上界的極大數字。

π x > li ⁡ x {\displaystyle \pi x> \operatorname {li} x}

,其中π表示素数计数函数,li则表示对数积分。经过数学家对这一上界的不断改进,目前发现在 e 727.95133 {\displaystyle e^{727.95133}} 附近有满足上式的自然数,不过仍不清楚这是否是最小的斯奎斯数。

                                     

1. 大小

約翰 恩瑟 李特爾伍德於1914年證明確實存在斯奎斯數,而且還進一步證明了 π x {\displaystyle \pi x} 和 l i x {\displaystyle {li}x} 兩個函數會交叉無數次,也就是有無窮個交叉點。然而不管代入什麼數字, π x {\displaystyle \pi x} 都小於 l i x {\displaystyle {li}x} ,因此,可以知道x一定是比人們所能計算的數字都來得大的。

斯奎斯於1933年證明了其中一個上界(需要黎曼假設),又被稱作 第一斯奎斯數 :

e 79 < 10 34 {\displaystyle e^{e^{e^{79}}} lix, International Journal of Number Theory, 2005, 6 03: 681–690, MR 2652902, arXiv:math/0509312, doi:10.1142/S1793042110003125
  • te Riele, H. J. J., On the sign of the difference πx − Lix, Mathematics of Computation, 1987, 48 177: 323–328, JSTOR 2007893, MR 0866118
  • Lehman, R. Sherman, On the difference πx − lix, Acta Arithmetica, 1966, 11: 397–410, MR 0202686
  • Saouter, Yannick; Demichel, Patrick, A sharp region where πx − lix is positive, Mathematics of Computation, 2010, 79 272: 2395–2405, MR 2684372, doi:10.1090/S0025-5718-10-02351-3
  • Rubinstein, M.; Sarnak, P., Chebyshevs bias, Experimental Mathematics, 1994, 3 3: 173–197, MR 1329368
  • Wintner, A., On the distribution function of the remainder term of the prime number theorem, American Journal of Mathematics The Johns Hopkins University Press, 1941, 63 2: 233–248, JSTOR 2371519, MR 0004255, doi:10.2307/2371519
  • Kotnik, T., The prime-counting function and its analytic approximations, Advances in Computational Mathematics, 2008, 29 1: 55–70, doi:10.1007/s10444-007-9039-2
  • Rosser, J. B.; Schoenfeld, L., Approximate formulas for some functions of prime numbers, Illinois Journal of Mathematics, 1962, 6: 64–94, MR 0137689
  • Skewes, S., On the difference πx − Lix II, Proceedings of the London Mathematical Society, 1955, 5: 48–70, MR 0067145
  • Littlewood, J. E., Sur la distribution des nombres premiers, Comptes Rendus, 1914, 158: 1869–1872
  • Zegowitz, Stefanie, On the positive region of π x − li ⁡ x {\displaystyle \pi x-\operatorname {li} x}: 69 pp., 2010
  • Skewes, S., On the difference πx − Lix, Journal of the London Mathematical Society, 1933, 8: 277–283