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ⓘ 完备性




完备性
                                     

ⓘ 完备性

在数学及其相关领域中,一个对象具有 完备性 ,即它不需要添加任何其他元素,这个对象也可称为 完备的 或 完全的 。更精确地,可以从多个不同的角度来描述这个定义,同时可以引入 完备化 这个概念。但是在不同的领域中," 完备”也有不同的含义,特别是在某些领域中," 完备化”的过程并不称为" 完备化”,另有其他的表述,请参考代数闭域、紧化或哥德尔不完备定理。

  • 一个度量空间或一致空间被称为" 完备的”,如果其中的任何柯西列都收敛,请参看完备空间。
  • 在泛函分析中,一个拓扑向量空间 V {\displaystyle V} 的子集 S {\displaystyle S} 被称为是 完全的 ,如果 S {\displaystyle S} 的扩张在 V {\displaystyle V} 中是稠密的。如果 V {\displaystyle V} 是可分空间,那么也可以导出 V {\displaystyle V} 中的任何向量都可以被写成 S {\displaystyle S} 中元素的(有限或无限的)线性组合。更特殊地,在希尔伯特空间中(或者略一般地,在线性内积空间( inner product space )中),一组标准正交基就是一个完全而且正交的集合。
  • 一个测度空间是 完全的 ,如果它的任何零测集( null set )的任何子集都是可测的。请查看完全测度空间( complete measure )。
  • 在统计学中,一个统计量被称完全的,或完备的,如果不存在由其构造的非平凡的0的无偏估计量( estimator )。
  • 在图论中,一个图被称为 完全的 ,如果这个图是无向图,并且任何两个顶点之间都恰有一条边连接。
  • 在范畴论,一个范畴 C {\displaystyle C} 被称为 完备的 ,如果任何一个从小范畴到 C {\displaystyle C} 的函子都有极限。而它被称为 上完备的 ,如果任何函子都有一个上极限。请查看范畴论中的极限定义。
  • 在序理论和相关的领域中,如格和畴(域理论)中, 全序性 ( completeness )一般是指对于偏序集存在某个特定的上确界或下确界。值得特别注意的是,这个概念在特定的情况下也应用于完全布尔代数,完全格和完全偏序。并且一个有序域被称为 完全的 ,如果它的任何在这个域中有上界的非空子集,都有一个在这个域中的最小上界;注意这个定义与序理论中的完全有界性( bounded complete )有细小的差别。在同构的意义下,有且仅有一个完全有序域,即实数。
  • 在数理逻辑,一个理论被称为 完备的 ,如果对于其語言中的任何一个句子 S {\displaystyle S} ,这个理论包括且仅包括 S {\displaystyle S} 或 ¬ S {\displaystyle \neg S} 。一个系统是 相容的 ,如果不存在同时 P {\displaystyle P} 和非 P {\displaystyle P} 的证明。哥德尔不完备定理证明了,包含皮亚诺公理的所有公理系统都是不可能既完备又相容的。下面还有一些逻辑中关于完备性的定义。
  • 在证明论和相关的数理逻辑的领域中,一个形式的演算相对于一个特定的逻辑(即相对于它的语义)是 完备的 ,如果任何由一组前提 Q {\displaystyle Q} 根据语义导出的陈述 P {\displaystyle P} ,都可以从这组前提出发利用这个演算语法地导出。形式地说, G ⊨ P {\displaystyle G\models P} 导出 G ⊢ P {\displaystyle G\vdash P} 。一阶逻辑在这个意义下是完备的。特别地,所有逻辑的重言式都可以被证明。即使在经典逻辑中,这与前述的完备性是不同的(即一个陈述和否定陈述对于这个逻辑而言不可能是重言式)。相反的概念被称为可靠性( soundness )。
  • 在计算复杂度理论中,一个问题 P {\displaystyle P} 对于一个复杂度类 C {\displaystyle C} ,在某个给定类型的归约下是 完全的 (完備 複雜度),如果 P {\displaystyle P} 在 C {\displaystyle C} 中,并且 C {\displaystyle C} 中的任何问题利用该归约都可以化归到 P {\displaystyle P} 。例如,NP完全问题在NP类和多项式时间和多对一归约的意义下是完全的。