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ⓘ 数论




数论
                                     

ⓘ 数论

數論 是纯粹数学的分支之一,主要研究整数的性質。被譽為「最純」的數學領域。

正整数按乘法性质划分,可以分成質数,合数,1,質数產生了很多一般人能理解卻又懸而未解的問題,如哥德巴赫猜想,孿生質數猜想等。即,很多問題虽然形式上十分初等,事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展,催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外,也研究一些由整數衍生的數(如有理數)或是一些廣義的整數(如代數整數)。

整数可以是方程式的解(丟番圖方程)。有些解析函數(像黎曼ζ函數)中包括了一些整數、質數的性質,透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係,並且用有理數來逼近實數(丟番圖逼近)。

數論早期稱為算術。到20世紀初,才開始使用數論的名稱,而算術一詞則表示「基本運算」,不過在20世紀的後半,有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。1952年時數學家 哈罗德 达文波特 仍用「高等算術」一詞來表示數論,戈弗雷 哈羅德 哈代和愛德華 梅特蘭 賴特在1938年寫數論介紹簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為算術介紹,某方面而言是更合適的書名,但也容易讓讀者誤會其中的內容」。

卡尔 弗里德里希 高斯曾說:「數學是科學的皇后,數論是數學的皇后。」

                                     

1. 数论初期的铺垫工作

数论早期铺垫有三大内容:

  • 欧几里得证明素数无穷多个。
  • 公元420至589年(中国南北朝时期)的孙子定理。
  • 寻找素数的埃拉托斯特尼筛法;欧几里得求最大公约数的辗转相除法。

以上工作成为现代数论的基本框架。

                                     

2. 数论中期工作

在中世紀時,除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有關等差數列的研究外,西歐在數論上沒有什麼進展。

数论中期主要指15-16世纪到19世纪,是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的發展是在文藝復興的末期,對於古希臘著作的重新研究。主要的成因是因為丟番圖的算術(Arithmetica)一書的校正及翻譯為拉丁文,早在1575年Xylander曾試圖翻譯,但不成功,後來才由Bachet在1621年翻譯完成。

                                     

2.1. 数论中期工作 費馬

皮埃爾 德 費馬(1601–1665)沒有著作出版,他在數論上的貢獻幾乎都在他寫給其他數學家的信上,以及書旁的空白處。費馬的貢獻幾乎沒有數論上的證明,不過費馬重覆的使用數學歸納法,並引入无穷递降法。

費馬最早的興趣是在完全數及相亲数,因此開始研究整數因數,這也開始1636年之後的數學研究,也接觸到當時的數學社群。他已在1643年研讀過 巴歇 版本的丟番圖著作,他的興趣開始轉向丟番圖方程和平方數的和。

費馬在數論上的貢獻有:

  • 發展許多找亏格0或1曲線上點的方法,作法類似丟番圖,有許多特殊的步驟,使用了切線法構建曲線,而不是用割線法。
  • 證明 x 4 + y 4 = z 4 {\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}} 不存在非尋常的正整數解。
  • 向英國的數學家提出了求解 x 2 − N y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1} 的挑戰(1657年),但在幾個月後就由Wallis及Brouncker證明。費馬認為他們的證明有效,但用了一個在其中未經證明的演算法,費馬自己是由无穷递降法找到證明。
  • 費馬小定理 1640,若 a {\displaystyle a} 不是質數 p {\displaystyle p} 的倍數,則 a p − 1 ≡ 1 mod p. {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}
  • 若 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 互質,則 a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} 無法被任何除4後同餘-1的質數整除,而且每個除4後同餘1的質數都可以表示為 a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}}.,這二個是在1640年證明的,在1649年他在寫給惠更斯的信上提到他用无穷递降法證明的第二個問題,費馬和 福蘭尼可 在其他平方形式上也有一些貢獻,不過其中有些錯誤及不嚴謹之處。

費馬在1637年聲稱(費馬最後定理)證明了對於大於2的任意整數 n {\displaystyle n} ,不存在 x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} 的非尋常的正整數解(目前已知唯一的证明是由數學家安德魯 懷爾斯及其學生理查 泰勒證明,遠遠的超過他的時代),但只在一本丟番圖著作的旁邊寫到,而且他沒有向別人宣稱他已有了證明。



                                     

2.2. 数论中期工作 歐拉

歐拉1707–1783對數論的興趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引發,讓他開始專注在費馬的一些研究上,在費馬沒有使當代的數學家注意此一主題後,歐拉的出現稱為「現代數論的重生」。歐拉數論的貢獻包括以下幾項:

  • 佩爾方程,最早誤以為是歐拉證明,歐拉也寫了連分數和佩爾方程的關係。
  • 丟番圖方程:歐拉研究一些虧格為0或1的丟番圖方程,特別的是他研讀丟番圖的著作,試圖要找到系統化的方法,但時機尚不成熟,幾何數論才剛形成而已。歐拉有注意到丟番圖方程和椭圆积分之間的關係。
  • 費馬研究的證明,包括費馬小定理(歐拉延伸到非質數的模數),以及 p = x 2 + y 2 {\displaystyle p=x^{2}+y^{2}} 若且唯若 p ≡ 1 m o d 4 {\displaystyle p\equiv 1\;mod\;4} ,這項研究可推導到所有整數都可以表示為四個平方數的證明(第一個完整證明是由約瑟夫 拉格朗日提出,費馬很快的也提出證明),和 x 4 + y 4 = z 2 {\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}} 沒有非零整數解的證明,表示為費馬最後定理 n = 4 {\displaystyle n=4} 時成立,歐拉用類似方式證明了 n = 3 {\displaystyle n=3} 的情形。
  • 二次式 ,繼費馬之後,歐拉繼續研究哪些質數可以表示為 x 2 + N y 2 {\displaystyle x^{2}+Ny^{2}} ,其中有些顯示二次互反律的性質 。
                                     

3. 分支

初等數論 意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題,最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理、費馬小定理、二次互反律等等。 解析數論 借助微積分及複分析的技術來研究關於整數的問題,主要又可以分為 積性數論 與加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題,其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題,華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法、圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。 代數數論 引申代數數的話題,關於代數整數的研究,主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題,而為了達到此目的,這個領域與代數幾何之間有相當關聯,比如類域論(class field theory)就是此間的顛峰之作。 算術代数幾何 研究有理係數多變數方程組的有理點,其結構(主要是個數)和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係,有名的費馬最後定理、莫德爾猜想( 法爾廷斯定理 )、 Weil猜想 ,和千禧年大獎難題中的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想都屬此類。 幾何数论 主要在於透過幾何觀點研究整數(在此即格子點)的分佈情形。最著名的定理為闵可夫斯基定理。 計算数论 借助電腦的算法幫助數論的問題,例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。 超越数论 研究數的超越性,其中對於歐拉常數與特定的黎曼ζ函數值之研究尤其令人感到興趣。 組合数论 利用組合和機率的技巧,非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保罗 埃尔德什開創的思路。 模形式 數學上一個滿足一些泛函方程與增長條件、在上半平面上的(複)解析函數。
                                     

4. 應用

  • 素数
  • 埃拉托斯特尼筛法
  • 哥德巴赫猜想
  • 孙子定理
  • 双生质数
  • 密碼學
  • p進數
  • 素数公式
  • 有限域