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ⓘ 恩格尔展开式




                                     

ⓘ 恩格尔展开式

Engel展開式 是一個正整數數列 { a 1, a 2, a 3. } {\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3}.\}} ,使得一個正實數可以以一種唯一的方式表示成埃及分數之和:

x = 1 a 1 + 1 a 1 a 2 + 1 a 1 a 2 a 3 +. {\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+.\;}

有理數的展開式是有限的,無理數的是無限的。Engel 展开式得名于 F. Engel,他在 1913 年研究了它们。

                                     

1. Engel展开与连分数

Kraaikamp 和 Wu 2004年 发现 Engel 展开可以被看作是连分数的上升变体。

x = 1 + 1 + 1 + ⋯ a 3 a 2 a 1. {\displaystyle x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}.}
                                     

2. 算法

u 1 = x {\displaystyle u_{1}=x} a k = ⌈ 1 u k ⌉ {\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil } u k + 1 = u k a k − 1 {\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}

⌈ r ⌉ {\displaystyle \left\lceil r\right\rceil } 表示最小的整數大於或等於 r {\displaystyle r} 。

若 u i = 0 {\displaystyle u_{i}=0} ,則停止。

                                     

2.1. 算法 例子

3 7 = 1 3 + 1 3 × 4 + 1 3 × 4 × 7 {\displaystyle {\frac {3}{7}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}+{\frac {1}{3\times 4\times 7}}}

{ 3, 4, 7 } {\displaystyle \{3.4.7\}\;}