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ⓘ Category:数论




                                               

数论

數論 是纯粹数学的分支之一,主要研究整数的性質。被譽為「最純」的數學領域。 正整数按乘法性质划分,可以分成質数,合数,1,質数產生了很多一般人能理解卻又懸而未解的問題,如哥德巴赫猜想,孿生質數猜想等。即,很多問題虽然形式上十分初等,事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展,催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外,也研究一些由整數衍生的數(如有理數)或是一些廣義的整數(如代數整數)。 整数可以是方程式的解(丟番圖方程)。有些解析函數(像黎曼ζ函數)中包括了一些整數、質數的性質,透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之 ...

                                               

Abc猜想

abc猜想 (英語: abc conjecture )是一個未解決的數學猜想,最先由約瑟夫 奧斯特莱及大衛 馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述,c是a及b的和,猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明,經過8年同行審查後於2020年4月发表,但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC項目「ABC Home」。 abc猜想若得證,數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安 哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。(Goldfeld 1996)

                                               

代數數論

在數學中, 代數數論 是數論的一支,其中我們將「數」的概念延伸,以解決具體的數論問題。我們在代數數論中考慮代數數,這類數是有理係數多項式的根。與此相關的概念是數域,這是有理數域的有限擴張。在此框架下能推廣整數為代數整數,並研究一個數域裡的代數整數。 代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環,但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上,其中一個例子是素因數分解的唯一性(又稱算術基本定理),這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙,然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數整數的性質 - - 包括伽羅瓦理論、伽羅瓦上同調、類域論、表示理論與L-函數 ...

                                               

歐幾里得-歐拉定理

數學上, 歐幾里得-歐拉定理 (英語: Euclid–Euler theorem )是一條聯繫偶完全數與梅森質數的定理。這定理指出每個偶完全數都可以寫成2 p − 1 ,其中2 p − 1是質數。形如2 p − 1的質數稱為梅森質數,因此其中的 p 必須是質數。

                                               

古埃及分數

古埃及的分數 是不同的單位分數的和,就是分子為1,分母為各不相同的正整數。任何正有理數都能表達成這一個形式。

                                               

吉爾布雷斯猜想

在數論上,如果將所有質數寫出,然後計算出相鄰數的差,得出一個新的數列,又再計算新數列相鄰數的差,重複這個動作無限次: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2. 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4. 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2. 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2. 1, 2, 0, 0, 0, 2. 1, 2, 0, 0, 2. 吉爾布雷斯猜想 猜測除了原本質數數列之外,這些數列的首個數都是1,在1958年由Norman O. Gilbreath提出。 更數學化來說,將 d 0 n {\displaystyle d_{0}n} 定義為第 n {\displaystyle n} 個質數, d k + 1 n = | d k n − d k n + 1 | {\displaystyle d_{k+1}n=|d_{k}n-d_{k}n+1|} ,其中 k {\displaystyle k} 是非負整數, n { ...