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ⓘ 唯一量化




                                     

ⓘ 唯一量化

在谓词逻辑和依赖于它的技术领域中, 唯一量化 或 唯一存在量化 ,尝试形式化对于" 精确”的一个事物,或对于精确的特定类型的一个事物为真的某个事物的概念。唯一量化的一般化是 计数量化 。

例如:

恰有一个自然数 x 使得 x - 2 = 4。

符号化写为:

∃! x ∈ N, x - 2 = 4

符号 ∃! 叫做" 唯一量词”或" 唯一存在量词”。它通常被读作" 有且仅有一个”、" 恰有一个”、" 存在唯一一个”(存在着这个符号的在文法上和如何阅读上的多个变体)。

                                     

1. 简约为普通量词

唯一量化通常被认为是全称量化" 对于所有”,∀、存在量化" 对于某个”,∃和等式" 等于”,=的组合。因此,如果 P x 是要在其上量化的谓词在我们上面例子中的 P x 是" x - 2 = 4”),那么 ∃! x, P x 意味着:

∃ x P x ∧ ∀ y P y → x = y) {\displaystyle \exists xPx\land \forall yPy\rightarrow x=y)}

正好存在一个 x 使得 P x”的陈述还可以写为两个更弱的陈述的逻辑合取。其中第一个简单的存在量化:∃ x , P x。第二个是唯一性,有些人写为! x, P x。它被定义为: ∀ x, ∀ y, P x ∧ P y → x = y 。

这两个陈述的合取

∃ x P x ∧ ∀ x ∀ y P x ∧ P y → x = y) {\displaystyle \exists x\,Px\land \forall x\,\forall y\,Px\land Py\to x=y)} 。

逻辑等价于前面给出的单一陈述。但是实际上,证明唯一存在性通常要分别证明这两个陈述。