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ⓘ Q阶乘幂




                                     

ⓘ Q阶乘幂

q阶乘幂 是阶乘幂的Q-模拟。与阶乘幂在广义超几何函数中的作用类似,q阶乘幂也是定义基本超几何函数的基础。

                                     

1.1. 定义 n 为正整数时

当 n 为正整数时,q阶乘幂定义为 a ; q n = ∏ k = 0 n − 1 − a q k = 1 − a 1 − a q 1 − a q 2 ⋯ 1 − a q n − 1, {\displaystyle a;q_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}1-aq^{k}=1-a1-aq1-aq^{2}\cdots 1-aq^{n-1},}
                                     

1.2. 定义 n 为0时

当 n 为0时,q阶乘幂定义为 a ; q 0 = 1. {\displaystyle a;q_{0}=1.}
                                     

1.3. 定义 n 为无穷大时

与一般的阶乘幂不同的是,q阶乘幂可以扩展成一个无穷乘积 a ; q ∞ = ∏ k = 0 ∞ 1 − a q k, {\displaystyle a;q_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }1-aq^{k},} 这时它是一个关于q在单位圆盘内的解析函数,也可以考虑为一个关于q的形式幂级数。其中一个特殊情况 ϕ q = q ; q ∞ = ∏ k = 1 ∞ 1 − q k {\displaystyle \phi q=q;q_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }1-q^{k}} 被称为欧拉函数。
                                     

1.4. 定义 n 为负数时

有限q阶乘幂可以用无穷q阶乘幂表示 a ; q n = a ; q ∞ a q n ; q ∞, {\displaystyle a;q_{n}={\frac {a;q_{\infty }}{aq^{n};q_{\infty }}},} 这样就能把q阶乘幂扩展到 n 为负整数的情况:对于非负整数 n ,有 a ; q − n = 1 a q − n ; q n = ∏ k = 1 n 1 − a / q k {\displaystyle a;q_{-n}={\frac {1}{aq^{-n};q_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-a/q^{k}}}} 以及 a ; q − n = − q / a n q n − 1 / 2 q / a ; q n. {\displaystyle a;q_{-n}={\frac {-q/a^{n}q^{nn-1/2}}{q/a;q_{n}}}.}
                                     

2. 多变量的写法

因为很多关于q阶乘幂的等式都含有多个q阶乘幂相乘,因此在标准写法中用一个含有多个变量的q阶乘幂来表示这个乘积:

n = a 1 ; q n a 2 ; q n … a m ; q n. {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots,a_{m};q_{n}=a_{1};q_{n}a_{2};q_{n}\ldots a_{m};q_{n}.}