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ⓘ 戴德金和




戴德金和
                                     

ⓘ 戴德金和

戴德金和 (Dedekind sum)是數學家戴德金在跟戴德金η函數有關的工作中提出的。

定義這個函數,首先要定義 x) {\displaystyle x)} :若 x {\displaystyle x} 是整數, x) = 0 {\displaystyle x)=0} ,否則為 x − } 是最大而又不大於 x {\displaystyle x} 的整數。

對於非零整數 h, k {\displaystyle h,k} ,戴德金和 s h, k {\displaystyle sh,k} 定義為 s h, k = ∑ μ = 0 k − 1 μ k) h μ k) {\displaystyle sh,k=\sum _{\mu =0}^{k-1}{\frac {\mu }{k}}){\frac {h\mu }{k}})}

若 h, k {\displaystyle h,k} 互質且均大於0,有 s h, k = 1 4 k ∑ μ = 1 k − 1 cot ⁡ π h μ k cot ⁡ π μ k {\displaystyle sh,k={\frac {1}{4k}}\sum _{\mu =1}^{k-1}\cot \left{\frac {\pi h\mu }{k}}\right\cot \left{\frac {\pi \mu }{k}}\right}

                                     

1. 公式

  • 對於 k ≡ 1 mod h {\displaystyle k\equiv 1{\pmod {h}}} , 12 h k s h, k = k − 1 k − h 2 + 1) {\displaystyle 12hksh,k=k-1k-h^{2}+1)}
  • 周期性: s n k + h, k = s h, k {\displaystyle snk+h,k=sh,k}
  • s 1, k = k − 1 k − 12 k {\displaystyle s1,k={\frac {k-1k-2}{12k}}}
  • 對於 k ≡ 2 mod h {\displaystyle k\equiv 2{\pmod {h}}} , 12 h k s h, k = k − 2 k − h 2 + 1 / 2) {\displaystyle 12hksh,k=k-2k-h^{2}+1/2)}
  • 若 p q ≡ 1 mod k {\displaystyle pq\equiv 1{\pmod {k}}} , s p, k = s q, k {\displaystyle sp,k=sq,k} 。
  • 有公因數時: s c h, c k = s h, k {\displaystyle sch,ck=sh,k}
  • 若 k {\displaystyle k} 為奇數, s 2, k = k − 1 k − 5 24 k {\displaystyle s2,k={\frac {k-1k-5}{24k}}}
  • Petersson-Knopp恆等式: ∑ d | n ∑ m = 0 d − 1 s n d h + m k, k d = σ n s h, k {\displaystyle \sum _{d|n}\sum _{m=0}^{d-1}s\left{\frac {n}{d}}h+mk,kd\right=\sigma nsh,k} , σ n {\displaystyle \sigma n} 為因數函數,是 n {\displaystyle n} 的正因數之和。其中一個較易證明的特例為當 p {\displaystyle p} 為質數, p + 1 s h, k = s p h, k + ∑ m = 0 p − 1 s h + m k, p k {\displaystyle p+1sh,k=sph,k+\sum _{m=0}^{p-1}sh+mk,pk}
  • 互反和:
  • 對於 k ≡ − 1 mod h {\displaystyle k\equiv -1{\pmod {h}}} , 12 h k s h, k = k 2 + h 2 − 6 h + 2 k + h 2 + 1 {\displaystyle 12hksh,k=k^{2}+h^{2}-6h+2k+h^{2}+1}
s h, k + s k, h = − 1 4 + 1 12 h k + 1 h k + k h {\displaystyle sh,k+sk,h=-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}\left{\frac {h}{k}}+{\frac {1}{hk}}+{\frac {k}{h}}\right}