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ⓘ 拉馬努金和




                                     

ⓘ 拉馬努金和

在數學的分支領域數論中, 拉馬努金和 (英語: Ramanujans sum )常標示為 c q ,為一個帶有兩正整數變數 q 以及 n 的函數,其定義如下:

c q n = ∑ a = 1 a, q = 1 q e 2 π i a q n, {\displaystyle c_{q}n=\sum _{a=1 \atop a,q=1}^{q}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},}

其中a, q = 1表示 a 只能是與 q 互質的數。

斯里尼瓦瑟 拉馬努金於1918年的一篇論文中引入這項和的觀念。拉馬努金和也用在 維諾格拉多夫定理 的證明,此定理指出:任何足夠大的奇數可為三個質數的和。

                                     

1. 本文符號彙整

若整數 a 與 b ,有關係 a ∣ b {\displaystyle a\mid b} (唸作「 a 整除 b 」),表示存在一個整數 c 使得 b = ac ;相似地, a ∤ b {\displaystyle a\nmid b} 表示「 a 無法整除 b 」。

求和符號

∑ d ∣ m f d {\displaystyle \sum _{d\,\mid \,m}fd}

表示 d 只採用其正整數因數 m ,亦即

∑ d ∣ 12 f d = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 6 + f 12 {\displaystyle \sum _{d\,\mid \,12}fd=f1+f2+f3+f4+f6+f12} 。

另外用到的有:

  • a, b {\displaystyle a,\,b\;} 為最大公因數,
  • μ n {\displaystyle \mu n\;} 為莫比烏斯函數,以及
  • ζ s {\displaystyle \zeta s\;} 為黎曼ζ函數。
  • ϕ n {\displaystyle \phi n\;} 為歐拉總計函數,
                                     

2.1. c q n的數學式 三角函數

下面的式子源自於定義、歐拉公式 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} 以及基本三角函數恆等式:

c 1 n = 1 c 2 n = cos ⁡ n π c 3 n = 2 cos ⁡ 2 3 n π c 4 n = 2 cos ⁡ 1 2 n π c 5 n = 2 cos ⁡ 2 5 n π + 2 cos ⁡ 4 5 n π c 6 n = 2 cos ⁡ 1 3 n π c 7 n = 2 cos ⁡ 2 7 n π + 2 cos ⁡ 4 7 n π + 2 cos ⁡ 6 7 n π c 8 n = 2 cos ⁡ 1 4 n π + 2 cos ⁡ 3 4 n π c 9 n = 2 cos ⁡ 2 9 n π + 2 cos ⁡ 4 9 n π + 2 cos ⁡ 8 9 n π c 10 n = 2 cos ⁡ 1 5 n π + 2 cos ⁡ 3 5 n π {\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}n&=1\\c_{2}n&=\cos n\pi \\c_{3}n&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}n&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}n&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}n&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}n&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}n&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}n&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}n&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}

等等(A000012, A033999, A099837, A176742., A100051.)。這些式子顯示出 c q n為實數。