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ⓘ 最小公倍數




最小公倍數
                                     

ⓘ 最小公倍數

最小公倍數 是数论中的一个概念。若有一個數 X {\displaystyle X} ,可以被另外兩個數 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} 整除,且 X {\displaystyle X} 大於(或等于) A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} ,則 X {\displaystyle X} 為 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的公倍數。 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的公倍數有無限個,而所有的公倍數中,最小的公倍數就叫做最小公倍數。兩個整數公有的倍數称为它们的 公倍数 ,其中最小的一個正整数称为它们两个的最小公倍数。同样地,若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。 n {\displaystyle n} 整数 a 1, a 2, ⋯, a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}} 的最小公倍数一般记作: } ,或者参照英文记法记作 lcm ⁡ {\displaystyle \operatorname {lcm} } ,其中 lcm 是英语中" 最小公倍数”一词( least common multiple )的首字母缩写。

对分數进行加減运算時,要求兩數的分母相同才能計算,故需要通分;标准的计算步骤是将兩個分數的分母通分成它们的最小公倍數,然后将通分后的分子相加。

                                     

1. 与最大公因数之关系

两个整数的最小公倍数与最大公因数之间有如下的关系:

lcm ⁡ a, b = | a ⋅ b | gcd ⁡ a, b {\displaystyle \operatorname {lcm} a,b={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} a,b}}}
                                     

2. 计算方法

最小公倍数可以通过多种方法得到,最直接的方法是列举法,从小到大列举出其中一个数(如最大數)的倍数,当这个倍数也是另一个数的倍数时,就求得最小公倍数。另一个方法是利用公式 lcm ⁡ a 1, a 2 = a 1 a 2 gcd a 1, a 2 {\displaystyle \operatorname {lcm} a_{1},a_{2}={\frac {a_{1}a_{2}}{\gcda_{1},a_{2}}}} 来求解,这时首先要知道它们的最大公因数。而最大公因数可以通过短除法得到。

利用整数的唯一分解定理,还可以用質因數分解法。将每个整数进行质因数分解。对每个质数,在质因数分解的表达式中寻找次数最高的乘幂,最后将所有这些质数乘幂相乘就可以得到最小公倍数。譬如求 216 、 384 和 210 的最小公倍數。对 216 、 384 和 210 来说:

216 = 2 3 × 3 {\displaystyle 216=2^{3}\times 3^{3}} , 384 = 2 7 × 3 1 {\displaystyle 384=2^{7}\times 3^{1}} , 210 = 2 1 × 3 1 × 5 1 × 7 1 {\displaystyle 210=2^{1}\times 3^{1}\times 5^{1}\times 7^{1}} 。 其中 2 {\displaystyle 2} 对应的最高次乘幂为 2 7 {\displaystyle 2^{7}} ; 3 {\displaystyle 3} 对应的最高次乘幂为 3 {\displaystyle 3^{3}} ; 5 {\displaystyle 5} 和 7 {\displaystyle 7} 对应的最高次乘幂分别是 5 1 {\displaystyle 5^{1}} 与 7 1 {\displaystyle 7^{1}} 。将这些乘幂乘起来,就可以得到最小公倍数: =2^{7}\times 3^{3}\times 5^{1}\times 7^{1}=120960} 。
                                     

2.1. 计算方法 递归计算多个整数的最小公倍数

可以递归求出多个整数的最小公倍数:欲求 lcm ⁡ a 1., a n ≥ 3 {\displaystyle \operatorname {lcm} a_{1}.,a_{n}n\geq 3} ,只需求 lcm ⁡) {\displaystyle \operatorname {lcm} a_{1}.,a_{n-2},\operatorname {lcm} a_{n-1},a_{n})} 。

这利用了性质 lcm ⁡ = lcm ⁡ lcm ⁡ a 1, a 2, a 3) {\displaystyle \operatorname {lcm} a_{1},a_{2},a_{3}=\operatorname {lcm} \operatorname {lcm} a_{1},a_{2},a_{3})} 。该性质证明如下:

记 a 1, a 2, a 3 {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}} 的质因数分解分别为 ∏ i = 1 n p i e 1 i, ∏ i = 1 n p i e 2 i, ∏ i = 1 n p i e 3 i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{e_{1i}},\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{e_{2i}},\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{e_{3i}}} ,其中 p i {\displaystyle p_{i}} 是第 i {\displaystyle i} 个质数。

那么根据最小公倍数的定义, lcm ⁡ = ∏ i = 1 n p i max {\displaystyle \operatorname {lcm} a_{1},a_{2},a_{3}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\maxe_{1i},e_{2i},e_{3i}}} ,

lcm ⁡ lcm ⁡ a 1, a 2, a 3) = lcm ⁡ ∏ i = 1 n p i max e 1 i, e 2 i, a 3) = ∏ i = 1 n p i max e 1 i, e 2 i, e 3 i) = ∏ i = 1 n p i max {\displaystyle \operatorname {lcm} \operatorname {lcm} a_{1},a_{2},a_{3})=\operatorname {lcm} \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\maxe_{1i},e_{2i}},a_{3})=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\max\maxe_{1i},e_{2i},e_{3i})}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\maxe_{1i},e_{2i},e_{3i}}} ,

证毕。



                                     

3. 应用

求最小公倍数是进行分数加减法时的步骤之一。将分母通分时,会把所有分数的分母通分为它们的最小公倍数,然后将分子相加。例如:

2 21 + 1 6 = 4 42 + 7 42 = 11 42 {\displaystyle {2 \over 21}+{1 \over 6}={4 \over 42}+{7 \over 42}={11 \over 42}}

其中分母 42 就是 21 与 6 的最小公倍数。

                                     

4. 参考来源

  • 柯召,孙绮,孙琦. 数论讲义. 高等教育出版社. 2005. ISBN 753205473X.
  • 阿尔伯特﹒H﹒贝勒著 谈祥柏译. 数论妙趣:数学女王的盛情款待. 上海教育出版社. 1998. ISBN 7040091909.