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ⓘ 谢费尔竖线




谢费尔竖线
                                     

ⓘ 谢费尔竖线

谢费尔竖线 (英語: Sheffer stroke ),得名于 Henry M. Sheffer ,写为" | ”(見豎線)或" ↑”,指示等价于合取运算的否定的逻辑运算。普通语言表达为" 不全是 即真”(Not AND,因此也常縮寫為 NAND ),也就是说,A | B假,当且仅当A与B都真时才成立。它是可用来表达与命题逻辑有关的所有布尔函数的自足算子之一。在布尔代数和数字电子中有叫做「NAND」的等价运算。

                                     

1. 定义

Sheffer竖线" |”等价于逻辑与的否定:

A | B = ¬ A ∧ B = A B ¯ {\displaystyle A|B=\neg A\wedge B={\overline {AB}}}

下列真值表在语义上定义了" |”:

其他逻辑算子可以依据"|"来定义,比如:

¬ A = A | A, {\displaystyle \neg A=A|A,} A ∧ B = A | B | A | B, {\displaystyle A\wedge B=A|B|A|B,} A ∨ B = A | A | B | B, {\displaystyle A\vee B=A|A|B|B,} A → B = A | B | B = A | A | B {\displaystyle A\rightarrow B=A|B|B=A|A|B} 。
                                     

2. 历史

Henry M. Sheffer证明了命题逻辑的所有常用算子(非、与、或、蕴涵等等)都可以用它来表达(Sheffer 1913)。查尔斯 皮尔士在30多年前(1880年)就发现了这个事实。皮尔士还发现所有布尔算子都可以用NOR算子来表达。

                                     

3. 基于Sheffer竖线的形式系统

下面是完全基于Sheffer竖线的形式系统的一个例子,它有着命题逻辑的表达能力。

                                     

3.1. 基于Sheffer竖线的形式系统 符号

A B C D E F G |

Sheffer竖线符合交换律不符合结合律。所以包括Sheffer竖线的所有形式系统必须也包含某种表示组合的方式。我们将为此采用和。

                                     

3.2. 基于Sheffer竖线的形式系统 文法

字母A,B,C,D,E,F和G是原子。

任何字母加角分符號(Prime, ′ )一次或多次还是一个原子(比如A, B, C, D都是原子)。

构造规则I:原子是合式公式( wff )。

构造规则II:如果X和Y是wff,则X|Y是wff。

闭包规则:不能使用前两个构造规则构造的任何公式都不是wff。

字母U,V,X和Y是表示wff的元变量。

确定一个公式是否是合式公式的一个判定过程如下:反向应用构造规则"解构"这个公式,把这个公式分解为更小的子公式。接着对每个子公式重复这个递归的解构过程。最终这个公式被简约到它的原子,如果某个子公式不能被简约,则这个公式不是wff。

                                     

3.3. 基于Sheffer竖线的形式系统 公理

下列 wff 是公理模式,即在把所有元变量替代为 wff 后变为公理。

THEN-1: U|U|V|U|U)

                                     

3.4. 基于Sheffer竖线的形式系统 推理规则

等价代换 。设wff X包含子公式U的一个或多个实例。如果U=V,则把X中U的一个或多个实例替换为V不改变X的真值。特别是,如果X=Y是个定理,则在V对U的任何代换之后仍是这种情况。

交换律: X|Y =Y|X

对偶律: 如果形如X和X|X的字符串都出现在一个定理中,则如果对换这两个字符串在这个定理中的所有出现,则结果也是个定理。

双重否定律: X|X|X|X) = X

模仿律: U|X|X) =U|U|X)

THEN-3: U|U|V|V|X) =V|V|U|U|X)

MP-1: U,U|V|X) ⊢ {\displaystyle \vdash } V

MP-2: U,U|V|X) ⊢ {\displaystyle \vdash } X

注意。公式U|V|X)有释义U→V∧X。肯定前件是MP-1和MP-2在V和X同一的时候的特殊情况。

                                     

3.5. 基于Sheffer竖线的形式系统 简化

因为这个逻辑的唯一连结词是"|",符号"|"可以一起都丢弃,只留下圆括号用来组合字母。一对圆括号必须总是包含一对 wff 。使用这种简单表示法的例子有

AABBABAB), AABBAA).

明显类似于LISP的语法。

表示法可以进一步简化,通过让

U:=UU U) ≡ {\displaystyle \equiv } U

对于任何U。这种简化导致了需要改变某些规则:(1)多于两个字母允许在圆括号内。(2)在圆括号内的字母或wff允许交换。(3)在同一组圆括号内的重复字母或wff可以除去。这个结果是Peirce的存在图的相应版本。

                                     

4. 参见

  • 逻辑哲学论
  • 零阶逻辑
  • 与非门
  • 真值表
  • 存在图
  • 自足算子
  • 逻辑与非