上一页

ⓘ 歐幾里得-歐拉定理




                                     

ⓘ 歐幾里得-歐拉定理

數學上, 歐幾里得-歐拉定理 (英語: Euclid–Euler theorem )是一條聯繫偶完全數與梅森質數的定理。這定理指出每個偶完全數都可以寫成2 p − 1 ,其中2 p − 1是質數。形如2 p − 1的質數稱為梅森質數,因此其中的 p 必須是質數。

                                     

1. 定理敘述

一個偶數是完全數(即等於它的所有真因數的和),當且僅當它有形式2 p −1 M p ,其中 M p 是梅森質數,即形為 M p = 2 p − 1 的質數。

                                     

2. 歷史

歐幾里得證明當2 p − 1是質數時,2 p − 1 2 p − 1是完全數(Prop. IX.36)。這是他的幾何原本中數論的最後一條結果。

過了超過一千年後,約在公元1000年,海什木猜想所有偶完全數都有形式2 p − 1 2 p − 1,但他未能證明。

直至18世紀,數學家歐拉始證明所有偶完全數都有形式2 p − 1 2 p − 1。因此確定偶完全數和梅森質數之間存在一一對應:每個偶完全數給出一個梅森質數,反之亦然。

                                     

3. 證明

歐拉的證明簡短,用到因數總和函數 σ 是積性函數的性質:對任何兩個互質正整數 a 和 b ,都有σab = σaσb。要使這個公式成立,一個數的因數總和須包括該數本身,不只是真因數。一個數是完全數,當且僅當該數的因數總和是該數的兩倍。

定理中一個方向(歐幾里得所證明的)較為容易:如果2 p − 1是質數,那麼

σ2 p − 1 2 p − 1) = σ2 p − 1σ2 p − 1 = 2 p − 12 p = 22 p −1 2 p − 1)

至於另一個方向,設有偶完全數2 k x ,其中 x 是奇數。它是完全數,故此

2 k + 1 x = σ2 k x = 2 k + 1 − 1σx.

上式右邊的奇因數2 k + 1 − 1 至少等於3,且必定整除或等於左邊唯一的奇因數 x ,因此 y = x /2 k + 1 − 1 是 x 的真因數。將上式兩邊除以公因數2 k + 1 − 1,並考慮 x 已知有因數 x 和 y ,得出

2 k + 1 y = σx = x + y + 其他各因數 = 2 k + 1 y + 其他各因數.

要使等式成立,必需無其他因數,因此 y 必定等於1, x 必定是形為2 k + 1 − 1的質數。定理得證。