上一页

ⓘ 自然数的集合论定义




                                     

ⓘ 自然数的集合论定义

在 ZFC 和有关理论中,自然数的集合论定义是约翰 冯 诺伊曼的序数定义:

  • 定义空集为零。
  • 定义 n 的后继为 n ∪ { n }

无穷公理接着确保所有自然数的集合 N 存在。容易证明上述定义满足皮亚诺算术公理。它也有一個特別的性質(在其他定義中不一定如此),就是每个自然数 n 都是恰好含 n 个元素的集合,即{0.1.2., n -1}。

                                     

1. 最老的定义

弗雷格(和伯兰特 罗素独立的)提议了如下定义。非形式的,每个自然数 n 被定义为其每个成员都有 n 个元素的集合。更形式的说,一个自然数是在等势的关系下的所有集合的等价类。这看起来是循环定义其实不是。

更加形式的说,首先定义 0 为 { ∅ } {\displaystyle \{\emptyset \}} (这是其唯一元素是空集的集合)。接着给定任何集合 A ,定义:

σ A {\displaystyle \sigma A} 为 { x ∪ { y } ∣ x ∈ A ∧ y ∉ x } {\displaystyle \{x\cup \{y\}\mid x\in A\wedge y\not \in x\}} 。

σA 是通过向 A 的所有成员 x 增加一个新元素而获得的集合。 σ {\displaystyle \sigma } 是后继函数的集合论运算实现(operationalization)。有了函数 σ ,就可以说 1 = σ 0, {\displaystyle \sigma 0,} 2 = σ 1 {\displaystyle \sigma 1}, 3 = σ 2 {\displaystyle \sigma 2} ,以此类推。这个定义有预期的效果:我们所定义的 3 实际上是其成员都有三个元素的集合。

如果全集 V 有有限势 n ,则 n + 1 = σ V = ∅ {\displaystyle n+1=\sigma V=\emptyset }, σ ∅ = ∅ {\displaystyle \sigma \emptyset=\emptyset } ,自然数的序列就此终结。所以如果 Frege-Russell 自然数要满足皮亚诺公理,所用到的公理化集合论必须包括无穷公理。自然数的集合可以被定义为包含 0 并闭合在 σ 下的所有集合的交集。

在朴素集合论、类型论和根源于类型论的集合论如新基础集合论和相关系统中,這個定義是可行的。但是它在公理化集合论 ZFC 和相关系统中不可行,因为在这种系统中在等势下的等价类作為集合而言太大了。這是由于罗素悖论的原因,在 ZFC 中没有全集 V 。

Hatcher(1982)从一些基础系统,包括 ZFC 和范畴论推导出了皮亚诺公理。他也从弗雷格的 Grundgesetze 系统出發,使用现代符号和自然演绎谨慎的推导出这些公理。当然,罗素悖论证明了这个系统是不自恰的,但是 George Boolos(1998)和 Anderson 与 Zalta(2004)展示了如何修补它。