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ⓘ 彭尼的游戏




                                     

ⓘ 彭尼的游戏

English version: Penneys game

彭尼的游戏(Penneys game) 由沃尔特 彭尼( Walter Penney )提出,是一个两个玩家之间生成用" 正面”和" 反面”为代称产生二进制数列的游戏。玩家A报出至少包含3个项、每项只能是正面或反面的序列,然后展示给玩家B;玩家B则给出等长的正面反面序列。随后, 投掷一面均匀的硬币硬币,观察正反,直至投掷出一段序列刚好和某个玩家的序列吻合,则该名玩家获胜。

将序列中每个正面或者反面的判断称为字节(bit),使用长度为3字节的序列,玩家B相对玩家A有优势。这是因为这个游戏是一个非传递博弈,所以无论如何选定第一个序列,总会有一个序列有更大的获胜概率。

                                     

1. 长度为3字节的游戏分析

长度为3字节的游戏中,第二名玩家可以通过以下途径最大化其胜算(odds):

(H表示正面朝上,T表示反面朝上)

简单的来说,对于2号玩家可以记下如下的序列作为获胜的技巧或者是讨喜的技巧(bar trick):第一个字节与1号玩家的第二个字节相反,第二个字节与1号玩家的第一个字节相同,第三个字节与1号玩家的第二个字节相同。

如果1号玩家选择了" 1-2-3 ” 为顺序编号的序列,每个编号代表一个字节正面/反面, 那么2号玩家则应该选择 :与2相反-1-2

这一结果有一个直观的解释:依照这种方法,当1号玩家猜测的前两字节刚好对上时,2号玩家的后两字节也对上,而1号玩家仍需要再猜测一轮才知晓是否胜利,直觉上而言,认为2号玩家更可能先猜全序列而成为赢家。

                                     

2. 3字节以上情形分析

在字节不小于4时1号玩家的优化策略由J.A. Csirik提出的见 参考资料。这一策略即是选择HTTTT.TTTHHk − 3 {\displaystyle k-3} Ts这样的序列。在此情形下,2号玩家的最大胜率为 2 k − 1 + 1: 2 k − 2 + 1 {\displaystyle 2^{k-1}+1:2^{k-2}+1} 。

                                     

3. 带扑克牌的变种

其中一种变种使用一套普通的扑克牌,被称为Humble-Nishiyama随机性游戏。该游戏遵从与彭尼的游戏同样的格式,只不过把猜正反改成猜红牌黑牌。

游戏规则如下:

游戏开始时,各玩家决定在游戏中使用的对于连续三张卡片的颜色猜测顺序。每次抽出一张卡片,并按顺序放成一线,直至被选的三联顺序出现。选中这一顺序的玩家拿走最后对上的三张牌, 称为拿到1个" trick”。游戏用余下牌继续,直至玩家不断地拿到" trick”所有牌被拿完为止。拿了最多" trick”的玩家即为赢家。

这一游戏通常会包含7个" trick”。基于扑克牌的游戏非常接近于原先游戏的重复,2号玩家的优势被极大地放大。但是概率有略微不同,因为投硬币得到的两个结果是独立的,而取出红牌于黑牌的概率取决于之前的抽牌。记红为R,黑为B,正面为H,反面为T,可以注意到HHT对比HTH和HTT的概率比是2:1,但BBR对比BRB和BRR的概率比各不相同。

以下为电脑模拟对每种策略的结果的估算概率:

如果游戏在多于1个trick时结束,平局概率微乎其微。2号玩家的胜率如下表所示:

                                     

4. 带轮盘的变体

Robert W. Vallin以及后来他和Aaron M. Montgomery一起发表了有关赌便士问题的研究结果。他们把这一游戏改编为(美式)轮盘,玩家们通过选择红色或黑色,而不是硬币的正面反面,来进行游戏。这种情况下,球落在红色与黑色区域的概率各为9/19,而球落在绿色区域的概率为1/19。绿色区域有很多解读方式:

1作为状况外卡牌,既可以当黑也可以当红; 2意即本轮无效须重来,或者游戏直接结束; 3作为一种非红非黑的颜色参与到序列中。

其研究结果计算了胜算与结束游戏所需要的回合数。

                                     
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