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ⓘ 埃尔德什等差数列猜想




                                     

ⓘ 埃尔德什等差数列猜想

埃尔德什等差数列猜想 (英語: Erdős conjecture on arithmetic progressions ),又称 埃尔德什-图兰猜想 (英語: Erdős-Turan conjecture ),是由匈牙利数学家沃尔夫数学奖得主保罗 埃尔德什与 保罗 图兰 (Pál Turán)共同提出的关于调和发散数列的等差子序列的数论猜想。

                                     

1. 猜想内容

对正整数数列 { 1, 2, 3., n, n + 1. } {\displaystyle \{1.2.3.,n,n+1.\}} 的任意子序列 { A n } {\displaystyle \{A_{n}\}} ,若:

其所有元素的倒数和发散,即 ∑ n = 1 ∞ 1 A n = ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{A_{n}}}=\infty }

则:

{ A n } {\displaystyle \{A_{n}\}} 含有任意长度的等差子序列。
                                     

2. 发展

1936年,埃尔德什与好友图兰提出了一个较弱的等差数列猜想,即:具有正密度的自然数子集含有无穷多长度为3的等差数列。

1952年,克劳斯 罗特证明了这个较弱版的猜想。

1975年,塞迈雷迪 安德烈在克劳斯 罗特证明的基础上将这个较弱版本的猜想推广为 塞迈雷迪定理 。

1976年,埃尔德什在一次纪念好友图兰的演讲中提出了埃尔德什等差数列猜想,并悬赏5000美元给第一个证明此猜想的人。

2004年,本猜想的弱化版本,也是前述塞迈雷迪定理的推广,格林-陶定理被 本 格林 和陶哲轩证明。