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ⓘ 亨泽尔引理




                                     

ⓘ 亨泽尔引理

亨泽尔引理 是数学中模算术的一個结论。亨泽尔引理说明,如果一个模 p ( p 是给定的质数)的多项式方程有一个单根,则可以通过这个根求出该方程在模 p 的更高次方时的根。在完备交换环(包括p进数)中,亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单,亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。

                                     

1. 定理内容

設 f x {\displaystyle fx} 為整係數多項式, k {\displaystyle k} 為不少於2的整數, p {\displaystyle p} 為質數。若整數 r {\displaystyle r} 是下面同餘式的根:

f r ≡ 0 mod p k − 1. {\displaystyle fr\equiv 0{\pmod {p^{k-1}}}.}

對於

f r + t p k − 1 ≡ 0 mod p k {\displaystyle fr+tp^{k-1}\equiv 0{\pmod {p^{k}}}} (I)

,則有:

  • 若 f ′ r ≢ 0 mod p {\displaystyle fr\not \equiv 0{\pmod {p}}} ,則存在唯一的整數 0 ≤ t ≤ p − 1 {\displaystyle 0\leq t\leq p-1} 使得(I)成立。
t f ′ r ≡ − f r / p k − 1) mod p. {\displaystyle tfr\equiv -fr/p^{k-1}){\pmod {p}}.\,}
  • 若 f ′ r ≡ 0 mod p {\displaystyle fr\equiv 0{\pmod {p}}} 但 f r ≢ 0 mod p k {\displaystyle fr\not \equiv 0{\pmod {p^{k}}}} ,則(I)無整數解。
  • 若 f ′ r ≡ 0 mod p {\displaystyle fr\equiv 0{\pmod {p}}} 且 f r ≡ 0 mod p k {\displaystyle fr\equiv 0{\pmod {p^{k}}}} ,則(I)對任意整數t成立。
                                     

2. 證明

Hensel引理可用泰勒公式證明。

f r + t p k − 1 = f r + t p k − 1 f ′ r + 1 2 t 2 p 2 k − 1 f ″ r + 1 6 t 3 p 3 k − 1 f ‴ r +. {\displaystyle fr+tp^{k-1}=fr+tp^{k-1}fr+{\frac {1}{2}}t^{2}p^{2k-1}fr+{\frac {1}{6}}t^{3}p^{3k-1}fr+.}

因此可見,由第三項開始,都必能被 p k {\displaystyle p^{k}} 整除。因此:

f r + t p k − 1 ≡ f r + t p k − 1 f ′ r mod p k {\displaystyle fr+tp^{k-1}\equiv fr+tp^{k-1}fr{\pmod {p^{k}}}}
                                     

3. 推廣

若 K {\displaystyle K} 為完備局域。設 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 為 K {\displaystyle K} 的整數環,設 f x {\displaystyle fx} 為係數在 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 的多項式,若存在 α 0 ∈ O K {\displaystyle \alpha _{0}\in {\mathcal {O}}_{K}} 使得

| f α 0 | < | f ′ α 0 | 2 {\displaystyle |f\alpha _{0}|