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ⓘ 卡塔蘭猜想




                                     

ⓘ 卡塔蘭猜想

卡塔蘭猜想 也稱為 米哈伊列斯庫定理 ,是比利時數學家歐仁 查理 卡塔蘭在1844年提出的數論猜想,已在2002年4月由帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家 普雷達 米哈伊列斯庫 證明了這猜想,因此也稱為米哈伊列斯庫定理,證明大幅使用了分圓域和 伽羅華模 。。

此定理斷言除了 8 = 2 3 {\displaystyle 8=2^{3}} , 9 = 3 2 {\displaystyle 9=3^{2}} ,沒有兩個連續整數都是正整數的幂(即次方數);以數學方式表述為:不定方程 x a − y b = 1 {\displaystyle x^{a}-y^{b}=1} 的大於1的正整數 x, y, a, b {\displaystyle x,y,a,b} 只有唯一解 x = 3, y = 2, a = 2, b = 3 {\displaystyle x=3,y=2,a=2,b=3} 。

                                     

1. 歷史

在卡塔蘭之前已有人考慮過類似的問題。

  • 1965年柯召證明方程 x 2 - y b = 1, b > 1 只有一個解。
  • 勒貝格證明了方程 x a - y 2 = 1, a > 1 沒有正整數解。
  • 莱昂哈德 歐拉證明, x 2 - y 3 = 1只有一解: x = 3, y = 2。
  • 1320年左右, 萊維 本 熱爾松 (1288年 - 1344年)證明2和3的冪之間只有8和9相差是1。

於是卡塔蘭猜想只餘下 a, b {\displaystyle a,b} 為奇素数的情況。

  • 皮萊猜想(Pillais conjecture):把卡塔蘭猜想一般化,推測正整數的冪之間的差趨向無限大;換句話說,對任何正整數,僅有限多對正整數的冪的差是這個數。這猜想現在仍未解決。若abc猜想成立,則皮萊猜想也成立。
  • 1976年羅貝特 泰德曼Robert Tijdeman證明卡塔蘭猜想的方程只有有限個解。雷 斯坦納Ray Steiner和莫里斯 米尼奧特( Maurice Mignotte )也對這猜想作出貢獻。
                                     

2. 參閱

  • Ivars Petersons MathTrek
  • 埃里克 韦斯坦因. Catalans conjecture. MathWorld.
  • Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalans Conjecture