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ⓘ Abc猜想




Abc猜想
                                     

ⓘ Abc猜想

abc猜想 (英語: abc conjecture )是一個未解決的數學猜想,最先由約瑟夫 奧斯特莱及大衛 馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述,c是a及b的和,猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明,經過8年同行審查後於2020年4月发表,但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC項目「ABC Home」。

abc猜想若得證,數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安 哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。(Goldfeld 1996)

                                     

1. 內容

對正整數 n , rad ⁡ n {\displaystyle \operatorname {rad} n} 表示 n {\displaystyle n} 的質因數的積,稱為 n 的 根基 (radical)。例如

rad16 = rad2 4 = 2, rad17 = 17, rad18 = rad2 ⋅ 3 2 = 2 3 = 6, rad1000000 = rad2 6 ⋅ 5 6 = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整數 a, b, c 彼此互質,且 a + b = c ,「通常」會有 c < radabc,例如:

a = 2 {\displaystyle a=2}, b = 7 {\displaystyle b=7}, c = 9 {\displaystyle c=9} : rad ⁡ a b c = 42 > c {\displaystyle \operatorname {rad} abc=42> c} 。 a = 9 {\displaystyle a=9}, b = 16 {\displaystyle b=16}, c = 25 {\displaystyle c=25} : rad ⁡ a b c = 30 > c {\displaystyle \operatorname {rad} abc=30> c} 。

但是也有反例,例如:

a = 3 {\displaystyle a=3}, b = 125 {\displaystyle b=125}, c = 128 {\displaystyle c=128} :因為 125 = 5 3 {\displaystyle 125=5^{3}} , 128 = 2 7 {\displaystyle 128=2^{7}} ,故此 rad ⁡ a b c = 30 < c {\displaystyle \operatorname {rad} abc=30 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon > 0} ,只存在有限個互質正整數的三元組a, b, c, c = a + b ,使得 c > rad ⁡ a b c 1 + ϵ {\displaystyle c> \operatorname {rad} abc^{1+\epsilon }}

abc猜想也有以下等價的表述方式:

abc猜想(二)

對於任何 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon > 0} ,存在常數 C ε > 0 {\displaystyle C_{\varepsilon }> 0} ,使得對於互質正整數的三元組a, b, c, c = a + b ,有: c < C ε rad ⁡ a b c 1 + ϵ, {\displaystyle c ,因此 q a, b, c < 1。 q 大於1的情況較少出現。

abc猜想(三)

對於任何 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon > 0} ,只存在有限個互質正整數的三元組a, b, c, c = a + b ,使得 q a, b, c > 1 + ϵ {\displaystyle qa,b,c> 1+\epsilon }

abc猜想中的ε不能去掉,不然命題就不成立。考慮以下例子:

a n = 3 2 n − 1 {\displaystyle a_{n}=3^{2^{n}}-1}, b n = 1 {\displaystyle b_{n}=1}, c n = 3 2 n {\displaystyle c_{n}=3^{2^{n}}}

這三個正整數互質,且有 a n + b n = c n {\displaystyle a_{n}+b_{n}=c_{n}} 。注意到 a n {\displaystyle a_{n}} 可被 2 n + 2 {\displaystyle 2^{n+2}} 整除,因此有

rad ⁡ a n b n c n ≤ 3 ⋅ 2 ⋅ a n 2 n + 2 = 3 a n 2 n + 1 {\displaystyle \operatorname {rad} a_{n}b_{n}c_{n}\leq 3\cdot 2\cdot {\frac {a_{n}}{2^{n+2}}}={\frac {3a_{n}}{2^{n+1}}}}:

因此

c n > a n ≥ 2 n + 1 3 rad ⁡ a n b n c n {\displaystyle c_{n}> a_{n}\geq {\frac {2^{n+1}}{3}}\operatorname {rad} a_{n}b_{n}c_{n}}

當 n 趨向無限大時, 2 n + 1 3 {\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{3}}} 也趨向無限大。因此不存在常數 C ,使得 c < C radabc對所有適合條件的三元組都成立。

                                     

2. 可得出的結果

如果abc猜想得證,那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果,在abc猜想提出後,已經以其他方法得到證明,一些則仍然為猜想。

  • 用勒讓德符號構成的L函數 L s, χ d沒有 Siegel零點 (需要abc猜想在代數數域上的一致形式,不只在有理整數上。)(Granville 2000)
  • Erdős–Woods猜想 ,除了有限多的反例。(Langevin 1993)
  • Thue–Siegel–Roth定理
  • 等價於修改後的 Szpiro猜想 (Oesterlé 1988)
  • 等價於Granville–Langevin 猜想
  • 存在無限多非維費里希素數(Silverman 1988)
  • Tijdeman定理 的推廣形式,關於 y m = x n + k 的解的個數(定理是 k =1的情形),及Pillai猜想,關於 Ay m = Bx n + k 的解的個數。
  • Marshall Hall猜想 的弱形式(Nitaj 1996)
  • Fermat–Catalan猜想 (Pomerance 2008)
  • Mordell猜想 (格爾德 法爾廷斯已證一般情形)(Elkies 1991)
  • 費馬大定理對所有足夠大指數的情形(安德魯 懷爾斯已證一般情形) (Granville 2002)
  • Brocard問題 n! + A = k 2 ,對任何給定的整數 A ,都只有有限個解。(Dąbrowski 1996)
  • 對有至少3個簡單零點的多項式 P x,在整數 x 取的所有值中,只有有限個次方數。
                                     

3. 理論結果

abc猜想導出 c 有 abc 的根基的接近線性函數的上界;不過,現在已知的是指數上界。確切結果如下:

c < exp ⁡ K 1 rad ⁡ a b c 15) {\displaystyle c