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ⓘ 数字和




                                     

ⓘ 数字和

一个整数的 数字和 ,是將一數在特定記數系統中的每一個位數相加起来所得的和。例如,84001在十進制中的数字和是13,即 8 + 4 + 0 + 0 + 1 = 13 {\displaystyle =13} 。

这个概念与數字根有密切的关系,但并不相同,数字根是把所有数字相加起来所得的和,然后再把这个和的所有数字相加起来,又得到一个和,重复这个步骤,直到最终只剩下一个数字,这个数字便称为数字根。数字和可以是任意的值,而数字根只能是0到9。

在十進制中,数字和可以用来判断一个数是否能被3或9整除。如果数字和能被3或9整除,则原来的数也能被3或9整除。可參照去九法、整除規則。

                                     

1. 定義

任何自然數都可以在底數為b下的進位制中表示,其中b的絕對值必須大於一。若有一自然數 n ,其於b進位制中表示為 d k − 1 d k − 2. d 2 d 1 d 0 {\textstyle d_{k-1}d_{k-2}.d_{2}d_{1}d_{0}} ,則其數字和(或位數和) F b {\textstyle F_{b}} 為將自然數映射到自然數的函數 F b: N → N {\textstyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} } ,其可以定義為:

F b n = ∑ i = 0 k − 1 d i {\displaystyle F_{b}n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}

其中 k = ⌊ log b ⁡ n ⌋ + 1 {\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1} ,代表自然數 n 在底數為b的進位制表示時的位數個數。而每個位數 d i {\textstyle d_{i}} 又可以表示成:

d i = n mod b i + 1 − n mod b i b i {\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}

舉例來說,84001在十進制中的數字和可以表示為 F 10 84001 = {\displaystyle F_{10}84001=\,} 8 + 4 + 0 + 0 + 1 = 13 {\displaystyle =12} ,這個數列為數字差(OEIS中的数列A274580)的相反數。

                                     

2. 用途

数字和雖與數字根不同,但皆可以用於3和9的整除判斷。数字和與數字根不同之處在於,數字根必為0至9之間的自然數,而数字和可以是任意整數。兩者用於判斷3或9的倍數的方法皆是若一數的数字和或數字根能被3或9整除,則其為3或9的倍數。特別地,對於判定9的倍數,此規則稱為「九的規則」,為去九法的基礎。

在早期的電腦中,亦常使用數字和作為檢查計算機計算結果的一種常見方式。此外數字和亦可以作為生成隨機數的一種方式。假設所使用的數表中每個數字都是隨機的,則根據中心極限定理,這些數的數字和可以視為具有接近高斯分佈的隨機分佈。而早期在計算機還沒被發明、使用手工計算時Edgeworth曾於1888年建議可以透過取對數的數學用表中50位數字之和作為隨機數生成的一種方式。

                                     

3. 列表

下表列出了數字和為特定數的自然數:

數字和為特定數的最小自然數,即上表中,每行的第一個數構成的數列,為清除重複項後的月三角數(lunar triangular numbers):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, …(OEIS中的数列A051885)
                                     

4. 相關數列

數字和可以視為將一數的每個位數視為單一元素並進行統計運算的操作,其他類似地如數字平方和、數字平均(即一數所有位數的平均值,  A061383 中則記載了數字平均為整數的數)等。

數字差 一个整数的 数字差 ,是將一數在特定記數系統中的每一個位數兩兩間插入減號得到的結果。例如,84001在十進制的数字差是 8 − 4 − 0 − 0 − 1 = 3 {\displaystyle =81} 。在十進制中,從零開始的前幾個整數之數字平方和為: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65.(OEIS中的数列A003132) 其與一般的數字和有不太相同的特性:對於一數的數字和,並不斷地將結果計算數字和最終會結束在一個數,該數稱為數字根;而對於一數的數字平方和,並不斷地將結果計算數字平方和,未必能結束在一個數。對於數字平方和無法結束在一個數的數,稱為悲傷數(sad numbers)或不快樂數(unhappy number) ,反之,稱為快樂數。
                                     

5. 參見

  • 快樂數:不斷地做數字平方和最終會得到1的整數。
  • 哈沙德數:可被數字和整除的整數。