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ⓘ 相等




                                               

國際費沙效應

國際費沙效應 (英語: International Fisher effect ,簡稱 IFE ,又稱為 費雪開放假說 ,Fishers open hypothesis)是國際金融學的假說,指出名義利率(nominal interest rate)的差異是各國間即期匯率(spot rate)預期變化之反映。IFE特別指出,即期匯率預期的變化會與利率差異的呈正反比。因此,名義利率較高的國家的貨幣名義利率較低的國家的貨幣對比下會貶值,因為高名義利率是預視貨幣通脹的指標。

相等
                                     

ⓘ 相等

在數學的領域中,若兩個数学对象在各个方面都相同,则称他们是 相等的 。这就定义了一个二元谓词 等于 ,写作" = {\displaystyle =} ”; x = y {\displaystyle x=y} 当且仅当 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 相等。通常意义上,等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来,就构成了 等式 ,例如 6 − 2 = 4 {\displaystyle 6-2=4} ,即 6 − 2 {\displaystyle 6-2} 與 4 {\displaystyle 4} 是相等的。

注意,有些时候" A = B {\displaystyle A=B} ”并不表示等式。例如, T n = O n 2 {\displaystyle Tn=On^{2}} 表示在数量级 n 2 {\displaystyle n^{2}} 上渐进。因為这裡的符号" = {\displaystyle =} ”不滿足若且唯若的定義,所以它不等於等于符号;实际上, O n 2 = T n {\displaystyle On^{2}=Tn} 是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

集合 A {\displaystyle A} 上的等于关系是种二元关系,满足自反性,对称性,反对称性和传递性。 实际上,这是 A {\displaystyle A} 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求,就是等价关系。 相应的,给定任意等价关系 R {\displaystyle R} ,可以构造商集 A / R {\displaystyle A/R} ,并且这个等价关系将‘下降为’ A / R {\displaystyle A/R} 上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式,包含未知数的等式称为方程式。

                                     

1. 邏輯形式

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。 萊布尼茨的想法是,兩樣物體是同一的,當且僅當它們有完全相同的性質。 形式化這一說法,可以寫成

對任意 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} , x = y {\displaystyle x=y} 當且僅當對任意謂詞 P {\displaystyle P} , P x {\displaystyle Px} 當且僅當 P y {\displaystyle Py} 。

然而,在一階邏輯中,不能對謂詞進行量化。因此,需要使用下述公理:

對任意 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} ,若 x {\displaystyle x} 等於 y {\displaystyle y} ,則 P x {\displaystyle Px} 當且僅當 P y {\displaystyle Py} 。

這條公理對任意單變量的謂詞 P {\displaystyle P} 都有效,但只定義了萊布尼茨律的一個方向:若 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 相等,則它們具有相同的性質。 可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向:

對任意 x {\displaystyle x} , x {\displaystyle x} 等於 x {\displaystyle x} 。

則若 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 具有相同的性質,則特定的它們關於謂詞 P {\displaystyle P} 是相同的。這裡謂詞 P {\displaystyle P} 為: P z {\displaystyle Pz} 當且僅當 x = z {\displaystyle x=z} 。 由於 P x {\displaystyle Px} 成立, P y {\displaystyle Py} 必定也成立(相同的性質),所以 x = y {\displaystyle x=y} ( P {\displaystyle P} 的變量為 y {\displaystyle y} ).

                                     

2.1. 等于的一些基本性质 替代性

对任意量 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 和任意表达式 F x {\displaystyle Fx} ,若 a = b {\displaystyle a=b} ,则 F a = F b {\displaystyle Fa=Fb} (设等式两边都有意义)。 在一阶逻辑中,不能量化像 F {\displaystyle F} 这样的表达式(它可能是个函数谓词)。 一些例子:

  • 对任意实数 a, b, c {\displaystyle a,b,c} ,若 a = b {\displaystyle a=b} ,则 a c = b c {\displaystyle ac=bc} (这里 F x {\displaystyle Fx} 为 x c {\displaystyle xc} )
  • 对任意实数 a, b, c {\displaystyle a,b,c} ,若 a = b {\displaystyle a=b} ,则 a + c = b + c {\displaystyle a+c=b+c} (这里 F x {\displaystyle Fx} 为 x + c {\displaystyle x+c} )
  • 对任意实数 a, b, c {\displaystyle a,b,c} ,若 a = b {\displaystyle a=b} 且 c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} ,则 a / c = b / c {\displaystyle a/c=b/c} (这里 F x {\displaystyle Fx} 为 x / c {\displaystyle x/c} )
  • 对任意实数 a, b, c {\displaystyle a,b,c} ,若 a = b {\displaystyle a=b} ,则 a − c = b − c {\displaystyle a-c=b-c} (这里 F x {\displaystyle Fx} 为 x − c {\displaystyle x-c} )
                                     

2.2. 等于的一些基本性质 自反性

对任意量 a {\displaystyle a} , a = a {\displaystyle a=a} 。

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

                                     

2.3. 等于的一些基本性质 对称性

例子:如果 a = b {\displaystyle a=b} ,那么 b = a {\displaystyle b=a}

                                     

2.4. 等于的一些基本性质 传递性

例子:如果 a = b {\displaystyle a=b} , b = c {\displaystyle b=c} ,那么 a = c {\displaystyle a=c}

实数或其他对象上的二元关系" 约等于”,即使进行精确定义,也不具有传递性(即使看上去有,但许多小的差能够叠加成非常大)。然而,在绝大多数情况下,等于 具有 传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质,但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

                                     

3. 符号的历史

「 等于 」符号或 「 = {\displaystyle =} 」被用来表示一些算术运算的结果,是由Robert Recorde在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦,Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长,表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是 ≈ {\displaystyle \approx } 或 ≒ ,不等于的符号是 ≠ {\displaystyle \neq } 。