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ⓘ 勾股数




勾股数
                                     

ⓘ 勾股数

勾股数 ,又名 商高數 或 毕氏数 (Pythagorean triple),是由三个正整数组成的数组;能符合勾股定理(毕式定理)「 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} 」之中, {\displaystyle } 的正整数解。而且,基于勾股定理的逆定理,任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。

如果 a, b, c {\displaystyle a,b,c} 是勾股数,它们的正整数倍数,也是勾股数,即 {\displaystyle na,nb,nc} 也是勾股数。若果 a, b, c {\displaystyle a,b,c} 三者互质(它们的最大公因数是 1),它们就称为 素勾股数 。

                                     

1. 找出勾股数

以下的方法可用来找出勾股数。设 m > n {\displaystyle m> n} 、 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 均是正整数,

a = m 2 − n 2 {\displaystyle a=m^{2}-n^{2}} b = 2 m n {\displaystyle b=2mn} c = m 2 + n 2 {\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}

若 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 是互质,而且 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 為一奇一偶,计算出来的 a, b, c {\displaystyle a,b,c} 就是素勾股数。(若 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 都是奇数, a, b, c {\displaystyle a,b,c} 就会全是偶数,不符合互质。)

所有素勾股数可用上述列式当中找出,这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

                                     

2. 例子

以下是小于 100 的素勾股数:

让我们把上述列式重组至以下列式:

a 2 = c − b c + b {\displaystyle a^{2}=c-bc+b}

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ,它在以下两组勾股数之中出现: 20, 21, 29 {\displaystyle 20.21.29} 与 20, 99, 101 {\displaystyle 20.99.101} 。

其中最先例子是5,它在以下兩組勾股數之中出現 3, 4, 5 {\displaystyle 3.4.5} 及 5, 12, 13 {\displaystyle 5.12.13} 。

在 15.386 组素勾股数的 1229779565176982820 ,它的最小与最大的勾股数组是:

1229779565176982820 {\displaystyle 1229779565176982820} 1230126649417435981 {\displaystyle 1230126649417435981} 1739416382736996181 {\displaystyle 1739416382736996181}

1229779565176982820 {\displaystyle 1229779565176982820} 378089444731722233953867379643788099 {\displaystyle 378089444731722233953867379643788099} 378089444731722233953867379643788101 {\displaystyle 378089444731722233953867379643788101}

试考虑它的质因数分解

1229779565176982820 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 37 × 41 × 43 × 47 {\displaystyle 1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47}

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然,数学上存在比它大的素勾股数。

                                     

3. 性質

  • gcd a, b = gcd b, c = gcd c, a = gcd a, b, c {\displaystyle \gcda,b=\gcdb,c=\gcdc,a=\gcda,b,c}
  • a, b {\displaystyle a,b} 至少一個是4的倍數
  • a, b, c {\displaystyle a,b,c} 至少一個是5的倍數
  • a, b {\displaystyle a,b} 至少一個是3的倍數
                                     

4. 找尋勾股數的小技巧

若需要一組最小數為奇數的勾股數,可任意選取一個 3 或以上的奇數,將該數自乘為平方數,除以 2,答案加減 0.5 可得到兩個新的數字,這兩個數字連同一開始選取的奇數,三者必定形成一組勾股數。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的唯一可能,例如 27, 364, 365 {\displaystyle 27.364.365} 並非是以 27 為起首的唯一勾股數,因為存在另一個勾股數是 27, 36, 45 {\displaystyle 27.36.45} ,同樣也以 27 為首。

對於任何大於1的整數 x {\displaystyle x} , x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} 、 x 2 − 1 {\displaystyle x^{2}-1} 與 2 x {\displaystyle 2x} ,三個數必為畢氏數,例如:代入 x {\displaystyle x} 為2,則 x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} 為5, x 2 − 1 {\displaystyle x^{2}-1} 為3, 2 x {\displaystyle 2x} 為4, 3, 4, 5 {\displaystyle 3.4.5} 為一組畢氏數。

                                     

5. 推廣

费马最后定理指出,若 a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} ,而 n {\displaystyle n} 是大于 2 的整数, a, b, c {\displaystyle a,b,c} 即没有正整数解。